怎麼證當X->0時,x等價於arctanx

怎麼證當X->0時,x等價於arctanx

利用洛必達法則
lim arctanx/x
=lim 1/(1+x^2)
=1
所以當X→0時,arctanX~X

arctanx的等價無窮小

x當x趨於0

同濟高數上册:冪函數導數使用導數定義推導的疑問? (X^n-A^n)/(X-A)==?

X^n-A^n=A^n((X/A)^n-1)=A^n(X/A-1)((X/A)^(n-1)+(X/A)^(n-2)+……+X/A+1)
=(X-A)(X^(n-1)+AX^(n-2)+A^2*X^(n-3)+……+A^(n-2)*X+A^(n-1))
∴(X^n-A^n)/(X-A)=X^(n-1)+AX^(n-2)+A^2*X^(n-3)+……+A^(n-2)*X+A^(n-1)

同濟高數第六版無窮小的比較求問 親愛的各位大大…看到同濟高數第六版P57的時候,我頭很大,因為一直無法搞懂這個玩意是什麼: 如果lim(β/α)=0就說β是比α高階的無窮小,記作β=o(α) 於是問題出現了我無法理解β=o(α)是個神馬…翻開下一頁也就是P58,關於等價無窮小的定理一: β與α是等價無窮小的充分必要條件為: β=α+o(α) 我不懂了… 我的個人想法一: β=o(α)是用α來表示β的一個函數覺得這麼想是錯的 個人想法二: 等價時β=α+o(α)?明明等價時β=α嘛那難道o(α)=0? 我徹底無法搞懂了求救.

1、α是無窮小,和α一樣,o(α)也是一個無窮小,只不過這個無窮小比α高階,也就是說lim(o(α)/α)=0.o(α)只是一個表示方法,表示那些比α高階的無窮小,α與β(也就是o(α))之間沒有函數關係;2、要更正你的一個錯誤…

等價無窮小極限 怎麼證明e^x-1與x是等價無窮小?也就是證明當x→0時,(e^x-1)/x的極限為1,但怎麼證明?

洛必達法則
或者展開e^x也可以

高數等價無窮小問題(能不能把函數內的函數等價成無窮小) 如:當x趨向0時,求Ln(tan2x)/Ln(tan7x)的極限,請問我能否先把括弧裡面的等價無窮下成Ln(2x)/Ln(7x),然後再洛比達.對於此例,答案為1是對的,我想知道是不是任意函數內的函數是否可以等價為無窮小(注意不是兩函數相乘,而是函數內),如果不能,能否舉個反例.能,給下理由.注意:我問的和這種是不一樣的,當x趨向0時,sin(sin2x)等價於2x,因為這種是函數從外到內,而我問的是從內到外的.不知大家能不能明白我的所問.呵呵

關於等價無窮小替換的問題,不要背結論,要知道原理,尤其是做對了也要知道為什麼是對的,否則跟猜對的沒什麼區別.
對於你給的具體問題,要注意x->0+時
lim ln(tan2x)/ln(2x)= 1 + lim [ln(tan2x)-ln(2x)]/ln(2x)= 1
所以才能導致等價無窮小的替換.
當然,我認為這樣的替換沒什麼價值,證明可以替換的難度和原問題相當,只不過是便於你使用L'Hospital法則而已,但這類問題根本不需要用L'Hospital法則就能解决.
再把你的問題抽象一下,在某個變化趨勢(比如x->a)下,lim f(x)/g(x)=1,h(x)具有一定的連續性,那麼是否可以保證lim h(f(x))/h(g(x))=1也成立?
一般來講結論是不對的,給你個反例:
x->0時,f(x)= 1/x^4,g(x)= 1/x^4+1/x^2,h(x)= e^x
如果你一定要無窮小量而非無窮大量也可以,比如
x->0時,f(x)= x^2,g(x)= x^2+x^4,h(x)= e^{-1/x^2}