反比例函數幾種面積

反比例函數幾種面積

1.當P點固定時，求面積最小時的直線方程
已知P（m，n），設直線方程為y=kx+b，與x軸y軸分別與A，B兩點相交的座標則為（-b/k，0），（0，b）
將P點代入得，n=mk+b，k=（n-b）/m
連接OP可知，三角形AOB的面積=三角形AOP的面積+三角形BOP的面積
兩個三角形的高分別為n，m，底OA=-b/k，OB=b
所以三角形AOB的面積為：
S=1/2*（-b/k）*n+1/2*b*m
將k代入（因為kb為兩個未知，去掉一個）
S=-1/2*bmn/（n-b）+bm/2
=bm/2*[1-n/（n-b）]
=bm/2*b/（n-b）
=m/2*b^2/（n-b）
令n-b=X，則OB=b=X+n
S=m/2*（X+n）^2/X
=m/2*（X^2+2Xn+n^2）/X
=m/2*（X+n^2/X+2n）
求S最小值，即求（X+n^2/X）的最小值.
根據公式a+b>=2倍根號（ab），（當且僅當a=b時，等號成立）
X+n^2/X>=2n，當X=n^2/X，即X=n時，X+n^2/X=2n
所以S最小=m/2*4n=2mn
此時OB=b=X+n=2n，
k=（n-b）/m=-n/m，OA=2m
所以直線方程為y=-nx/m+2n，點P在線段的中點
2.如果已知直線求點P則和上面方法相類似.
只是將m，n用k，p來表示
b=2n，k=-n/m，則n=b/2，m=-b/2k
即為中點