미분 방정식 y '- 6y' + 8y = xe 의 2x 제곱 의 통 해 를 구하 다.

r ^ 2 - 6 r + 8 = 0 r = 2 or = 4
동 차 방정식 통 C1 e ^ (2x) + C2e ^ (4x)
xe ^ (2x) 중 2 는 특징 방정식 의 풀이 입 니 다. 그래서 특 해 를 설정 합 니 다.
y = x (x + b) e ^ (2x) = (x ^ 2 + bx) e ^ (2x)
y '= (2ax + b) e ^ (2x) + 2 (x ^ 2 + bx) e ^ (2x) = (2ax ^ 2 + (2a + 2b) x + b) e ^ (2x)
y '= (4x + 2a + 2b) e ^ (2x) + 2 (2ax ^ 2 + (2a + 2b) x + b) e ^ (2x)
y '= (4x ^ 2 + (8a + 4b) x + (2a + 3b) e ^ (2x)
일차 방정식 에 대 입: y '- 6y' + 8y = xe 의 2x
(4x x ^ 2 + (8a + 4b) x + (2a + 3b) - 6 (2ax ^ 2 + (2a + 2b) x + 8 (x ^ 2 + bx) = x
(4a - 12a + 8a) x ^ 2 + (8a + 4b - 12b + 8b) x + (2a + 3b - 6b) = x
(- 4a) x + (2a - 3b) = x
- 4a = 1 a = - 1 / 4 2a - 3b = 0 b = 2a / 3 = - 1 / 6
그래서 특 해 는 y * = (- 1 / 4x ^ 2 - 1 / 6x) e ^ (2x)
C1 e ^ (2x) + C2e ^ (4x) + (- 1 / 4x ^ 2 - 1 / 6x) e ^ (2x)

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