高一對數函數運算法則的證明

高一對數函數運算法則的證明

高一對數函數運算法則
1、a^（log（a）（b））=b（對數恒等式）
2、log（a）（a^b）=b
3、log（a）（MN）=log（a）（M）+log（a）（N）；
4、log（a）（M÷N）=log（a）（M）-log（a）（N）；
5、log（a）（M^n）=nlog（a）（M）
6、log（a^n）M=1/nlog（a）（M）
證明：
1、因為n=log（a）（b），代入則a^n=b，即a^（log（a）（b））=b.
2、因為a^b=a^b
令t=a^b
所以a^b=t，b=log（a）（t）=log（a）（a^b）
3、MN=M×N
由基本性質1（換掉M和N）
a^[log（a）（MN）] = a^[log（a）（M）]×a^[log（a）（N）] =（M）*（N）
由指數的性質
a^[log（a）（MN）] = a^{[log（a）（M）] + [log（a）（N）]}
兩種方法只是性質不同，採用方法依實際情況而定
又因為指數函數是單調函數，所以
log（a）（MN）= log（a）（M）+ log（a）（N）
4、與（3）類似處理
MN=M÷N
由基本性質1（換掉M和N）
a^[log（a）（M÷N）] = a^[log（a）（M）]÷a^[log（a）（N）]
由指數的性質
a^[log（a）（M÷N）] = a^{[log（a）（M）] - [log（a）（N）]}
又因為指數函數是單調函數，所以
log（a）（M÷N）= log（a）（M）- log（a）（N）
5、與（3）類似處理
M^n=M^n
由基本性質1（換掉M）
a^[log（a）（M^n）] = {a^[log（a）（M）]}^n
由指數的性質
a^[log（a）（M^n）] = a^{[log（a）（M）]*n}
又因為指數函數是單調函數，所以
log（a）（M^n）=nlog（a）（M）
基本性質4推廣
log（a^n）（b^m）=m/n*[log（a）（b）]
推導如下：
由換底公式（換底公式見下麵）[lnx是log（e）（x），e稱作自然對數的底]
log（a^n）（b^m）=ln（b^m）÷ln（a^n）
換底公式的推導：
設e^x=b^m，e^y=a^n
則log（a^n）（b^m）=log（e^y）（e^x）=x/y
x=ln（b^m），y=ln（a^n）
得：log（a^n）（b^m）=ln（b^m）÷ln（a^n）
由基本性質4可得
log（a^n）（b^m）= [m×ln（b）]÷[n×ln（a）] =（m÷n）×{[ln（b）]÷[ln（a）]}
再由換底公式
log（a^n）（b^m）=m÷n×[log（a）（b）]
例如：log（8）27=log（2³；）3³；=log（2）3
再如：log（√2）√5=log（2）5.