遞增的等比數列｛an｝的前3項積為512，且這三項分別减去1,3,9後成等差數列，求證1/a1+2/a2+…＋n/an＜1

遞增的等比數列｛an｝的前3項積為512，且這三項分別减去1,3,9後成等差數列，求證1/a1+2/a2+…＋n/an＜1

a1*a2*a3=512 =>（a1*q）^3=512 => a1*q=8 =>a2=8
（a1-1）+（a3-9）=2*（a2-3）=>（a1-1）+（a2*q-9）=2*（8-3）=> a1+8q=20 =>a2/q+8q=20
解得q=2（q=1/2不合題意，舍去）
a1=4
an=a1*q^（n-1）=4*2^（n-1）=2^（n+1）
Bn=n/An=n/2^（n+1）
Sn=B1+b2+…+Bn
=1/4+2/8+…+（n-1）/2^n+n/2^（n+1）
2Sn=1/2+2/4+…+（n-1）/2^（n-1）+n/2^n
相减有
Sn=（1/2+1/4+1/8+…+1/2^n）-n/2^（n+1）
=（1/2）*[（1/2）^n-1]/（1/2-1）]-n/2^（n+1）
=1-（1/2）^n-n/2^（n+1）

Elden Ring Premiere

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