證明不等式：（2-1）/（2^2-1）+（2^2-1）/（2^3-1）+.+（2^n-1）/（2^（n+1）-1）>n/2-1/3

證明不等式：（2-1）/（2^2-1）+（2^2-1）/（2^3-1）+.+（2^n-1）/（2^（n+1）-1）>n/2-1/3

原不等式等價於（2^2-2）/（2^2-1）+（2^3-2）/（2^3-1）+…+（2^（n+1）-2）/（2^（n+1）-1）> n-2/3.
左端=（1-1/（2^2-1））+（1-1/（2^3-1））+…（1-1/（2^（n+1）-1））= n-（1/（2^2-1）+1/（2^3-1）+…+1/（2^（n+1）-1））.
故不等式進一步等價於1/（2^2-1）+1/（2^3-1）+…+1/（2^（n+1）-1）< 2/3.
當k > 2，有2^（k-2）> 1，故2^k-1 > 2^k-2^（k-2）= 3·2^（k-2）.
囙此1/（2^2-1）+1/（2^3-1）+…+1/（2^（n+1）-1）
< 1/3+1/（3·2）+…+1/（3·2^（n-1））
= 2/3-1/（3·2^（n-1））
< 2/3.

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