一個直角三角形的邊長都是整數，它的面積和周長的數值相等，這樣的直角三角形是否存在？若存在，確定它的三邊長；若不存在，請說明理由.

一個直角三角形的邊長都是整數，它的面積和周長的數值相等，這樣的直角三角形是否存在？若存在，確定它的三邊長；若不存在，請說明理由.

求邊長為整數，且面積等於周長的直角三角形的三邊長

設三角形的最短的邊為x（x為整數），另一個直角邊為kx（k大於等於1），斜邊為x（1+k^2）^1/2注：^1/2為1/2次方，k^2為k的平方
由題意得：0.5kx^2=[1+k+（1+k^2）^1/2 ]x
解出x=2+2[1+（1+k^2）^1/2]/k
令[1+（1+k^2）^1/2]/k=t，
由於x為整數，所以t的取值為0,1/2,2/2,3/2,4/2,5/2……
解出k=t/（t^2-1），由題意k大於等於1，
即t/（t^2-1）大於等於1，驗證得知t=3/2,4/2滿足題意，t大於4/2時k小於1，t小於3/2時k無解，
由t的值代入可解出k=12/5,4/3
當k=12/5時，三角形的三邊為x 12x/5 13x/5
得出三角形為5,12,13，滿足題意
由於面積和邊長成平方關係，周長和邊長成線性關係，所以這個三角形的三邊的長度值是唯一的
同理，k=4/3時，可得出一個三角形6,8,10，這個三角形的三邊在滿足k的比例關係時，三邊的邊長也是唯一的

三角形的周長為10，其中有兩邊相等且長為整數，求第三邊長

設有兩邊為x 10-2x＜2x 10-2x＞0∴2.5＜x＜5∵x為正整數∴x=3,4∴10-2x=4,2