수학 지식의 기원 수학 은 다른 과학 분야 와 마찬가지 로 일정한 사회 조건 에서 인류의 사회 실천 과 생산 활동 을 통 해 발전 한 지적 축적 이다.그 주요 내용 은 현실 세계 의 수량 관계 와 공간 형식,그리고 그들 간 의 관계 와 구 조 를 나타 낸다.이것 은 수학의 기원 에서 입증 할 수 있다. 고대 아프리카 의 나일강,서아시아 의 디 그리스 강 과 유 프 라 테 스 강,중 남아시아 의 인도 강 과 갠 지 스 강,그리고 동아시아 의 황하 와 장강 은 수학의 발원지 이다.이런 지역 의 선 민 들 은 농업 생산 에 종사 하 는 수요 로 인해 홍수 와 관 개 를 통제 하고 밭 의 면적 을 측정 하 며 창고 의 용적 을 계산 했다.농업 생산 에 적합 한 역법 과 관련 된 자산 계산,제품 교환 등 장기 적 인 실천 활동 에서 풍부 한 경험 을 쌓 았 고 해당 하 는 기술 지식 과 관련 된 수학 지식 을 점차적으로 형성 했다.

수학 지식의 기원 수학 은 다른 과학 분야 와 마찬가지 로 일정한 사회 조건 에서 인류의 사회 실천 과 생산 활동 을 통 해 발전 한 지적 축적 이다.그 주요 내용 은 현실 세계 의 수량 관계 와 공간 형식,그리고 그들 간 의 관계 와 구 조 를 나타 낸다.이것 은 수학의 기원 에서 입증 할 수 있다. 고대 아프리카 의 나일강,서아시아 의 디 그리스 강 과 유 프 라 테 스 강,중 남아시아 의 인도 강 과 갠 지 스 강,그리고 동아시아 의 황하 와 장강 은 수학의 발원지 이다.이런 지역 의 선 민 들 은 농업 생산 에 종사 하 는 수요 로 인해 홍수 와 관 개 를 통제 하고 밭 의 면적 을 측정 하 며 창고 의 용적 을 계산 했다.농업 생산 에 적합 한 역법 과 관련 된 자산 계산,제품 교환 등 장기 적 인 실천 활동 에서 풍부 한 경험 을 쌓 았 고 해당 하 는 기술 지식 과 관련 된 수학 지식 을 점차적으로 형성 했다.

수학,그 영 어 는 mathematics 입 니 다.이것 은 복수 명사 입 니 다."수학 은 네 개의 학 과 였 습 니 다.산술,기하학,천문학 과 음악 은 문법,수사 와 변증법 등 세 학과 보다 더 높 은 위치 에 있 습 니 다."
예로부터 대부분의 사람들 은 수학 을 지식 체계 로 보고 엄밀 한 논리 적 추 리 를 통 해 형 성 된 체계 화 된 이론 지식 총화 로 서 사람들 이'현실 세계 의 공간 형식 과 수량 관계(엥 겔 스)'에 대한 인식(엥 겔 스)을 나 타 냈 다.또한 사람들 이'가능 한 양의 관계 와 형식'에 대한 인식 을 나 타 냈 다.수학 은 현실 세계 의 직접적인 추상 에서 나 올 수도 있 고 인류 사고방식 의 노동 창조 에서 나 올 수도 있다.
인류 사회의 발전 사 를 보면 사람들 이 수학의 본질 적 특징 에 대한 인식 이 끊임없이 변화 하고 심화 되 고 있다."수학의 근원 은 일반적인 상식 에 있다.가장 현저 한 예 는 비 마이너스 정수 이다."유클리드 의 산술 은 일반 상식 에서 비 마이너스 정수 에서 기원 되 었 고 19 세기 중엽 까지 숫자 에 대한 과학 탐 구 는 일반 상식 에 머 물 렀 다."또 다른 예 는 기하학 적 유사 성 이다."개체 발전 에서 기하학 은 심지어 산술 보다 앞 섰 다."그'최초의 징조 중 하 나 는 유사 성 지식 이다.'유사 성 지식 이 이렇게 일찍 발견 되 었 는데'마치 대생 인 것 같다.'그래서 19 세기 이전에 사람들 은 수학 을 자연과 학,경험 과학 이 라 고 생각 했다.그 당시 의 수학 과 현실 간 의 관계 가 매우 밀접 하기 때문에 수학 연구 가 계속 깊 어 지면 서19 세기 중엽 이후 수학 은 연역 과학 의 관점 이 점점 주도 적 인 위 치 를 차지 했다.이런 관점 은 부 르 바 키 학파 의 연구 에서 발전 되 었 다.그들 은 수학 은 연구 구조의 과학 이 고 모든 수학 은 대수 구조,순서 구조 와 토폴로지 구조 라 는 세 가지 모 구조 위 에 세 워 졌 다 고 주장 했다.이런 관점 과 대응 하여 고대 그리스의 플라톤 부터많은 사람들 이 수학 을 연구 모델 의 학문 이 라 고 생각한다.수학자 화이트 하 이(A.N.Whiehead,186-1907)는 에서"수학의 본질 적 인 특징 은 모델 화 된 개체 가 추상 적 인 과정 에서 모델 을 연구 하 는 것 이다."수학 은 모델 이해 와 분석 모델 간 의 관 계 를 가장 강력 한 기술 이다.1931 년 에 가 델(K,G0de 1,1978)불완전 성 정리의 증명 은 공리 화 논리 연역 체계 에 존재 하 는 결함 을 선고 했다.그러면 사람들 은 수학 이 경험 과학 이라는 관점 을 떠 올 렸 다.유명한 수학자 펑 노 이만 은 수학 이 연역 과학 과 경험 과학 두 가지 특성 을 겸비 하고 있다 고 주장 했다.
상술 한 수학의 본질 적 특징 에 대한 견해 에 대해 우 리 는 역사적 인 안목 으로 분석 해 야 한다.실제로 수적 본질 적 특징 에 대한 인식 은 수학의 발전 에 따라 발전 한 것 이다.수학 은 물품 분배,시간 계산,토지 측량 과 용적 측정 등 실천 에서 비롯 되 기 때문에 이때 의 수학 대상(추상 적 사고의 산물 로 서)은 객관 과 매우 가깝다.사람들 은 수학 개념의 현실 원형 을 쉽게 찾 을 수 있다.그러면 사람들 은 자 연 스 럽 게 수학 이 경험 과학 이 라 고 생각한다.수학 연구 가 깊 어 지면 서 비 유럽 기하학,추상 대수 와 집합 론 등 이 형성 되 었 다.특히 현대 수학 은 추상,다 원,고 차원 으로 발전 하면 서 사람들의 주의력 은 이런 추상 적 인 대상 에 집중 되 었 고 수학 과 현실 간 의 거리 가 점점 멀 어 졌 으 며 수학 증명(연역 추리 로 서)은 수학 연구 에서 중요 한 위 치 를 차지 했다.그래서수학 은 인류 사고방식 의 자유 창조 물 이 고 연 구 량 의 관계 라 고 생각 하 는 과학,추상 적 인 구 조 를 연구 하 는 이론,모델 에 관 한 학문 등 관점 이 나 타 났 다.이런 인식 은 사람들 이 수학 에 대한 이해 의 심 화 를 나타 내 는 동시에 사람들 이 서로 다른 측면 에서 수학 을 인식 한 결과 이다.누군가가 말 한 것 처럼"엥 겔 스 의 수학 은 현실 세계 의 수량 관계 와 공간 형식 을 연구 하 는 제기 법 과 부 르 바 키 의 구조 관점 은 모순 되 지 않 는 다.전 자 는 수학의 출처 를 나타 내 고 후 자 는 현대 수학의 수준 을 나타 내 며 현대 수학 은 일련의 추상 적 인 구조 로 만들어 진 빌딩 이다."수학 은 연구 모델 의 학문 에 관 한 설 이다.즉,수학의 추상 적 인 과정 과 추상 적 인 수준의 측면 에서 수학의 본질 적 특징 에 대한 설명 이다.또한 사상 적 근원 에서 볼 때 사람들 이 수학 을 연역 과학,연구 구조의 과학 으로 보 는 이 유 는 인류 가 수학 추리 에 대한 필연성,정확성 에 대한 타고 난 신념 을 바탕 으로 인류 자체 의 이성 적 능력,근원 과 힘 에 대한 자신 감 을 집중 적 으로 나타 내 는 것 이다.따라서 사람들 은 수학 이론 을 발전 시 키 는 이 방법,즉 자명 한 공 리 를 증명 하지 않 고 연역 추 리 를 하 는 것 이 절대적 으로 믿 을 만하 다 고 생각한다.즉,공리 가 사실 이 라면 그 가 연역 한 결론 도 반드시 사실 일 것 이다.이런 뚜렷 하고 정확 하 며 완벽 해 보 이 는 논 리 를 응용 함으로써 수학자 들 이 얻 은 결론 은 의심 할 여지 가 없고 반박 할 여지 가 없다.
사실은 상기 수학 본질 적 특징 에 대한 인식 은 수학의 출처,존재 방식,추상 적 수준 등 측면 에서 이 루어 진 것 이 고 주로 수학 연구 결 과 를 보면 수학의 본질 적 특징 을 볼 수 있다.분명 한 것 은 결과(이론 적 연역 체계 로 서)수학의 전 모 를 나타 내지 못 하고 수학 전 체 를 구성 하 는 또 다른 중요 한 부분 은 수학 연구 의 과정 이다.그리고 전체적으로 보면 수학 은 동태 적 인 과정 이 고'사고의 실험 과정'이 며 수학 진리 의 추상 적 인 요약 과정 이다.논리 연역 체 계 는 이 과정의 자연 결과 이다.수학 연구 과정 에서 수학 대상 의 풍부 하고 생동감 있 으 며 변화 가 풍부 한 면 을 충분히 보 여 주 었 다.폴리 아(G.Poliva,1888-1985)는"수학 은 두 가지 측면 이 있다.그것 은 오 클 리드 식 의 엄밀 한 과학 이지 만 다른 것 이다.오 클 리드 방법 으로 제 기 된 수학 은 체계 적 인 연역 과학 처럼 보이 지만 창조 과정 에서 수학 은 실험 적 인 귀납 과학 처럼 보인다."프 라 이 덴 탈 은"수학 은 상당히 특별한 활동 이다."라 고 말 했다.이런 관점 은"수학 을 책 에 인쇄 하고 명심 하 며 머 릿 속 에 기억 하 는 것 과 구별 된다"고 주장 했다.그 는 수학자 나 수학 교과 서 는 수학 을'잘 조직 된 상태',즉'수학의 형식'은 수학자 가 수학(활동)내용 을 자신의 조직(활동)을 거 쳐 형 성 된 것 이 라 고 주장 했다.그러나 대부분의 사람들 에 게 수학 을 도구 로 삼 는 다.수학 이 없 으 면 안 되 는 것 은 수학 을 응용 해 야 하기 때문이다.이것 이 바로 대중 에 게 수학 형식 을 통 해 수학 을 배 워 야 하 는 내용 이다.따라서 해당 하 는(수학 을 응용 하 는)활동 을 배 워 야 한다.이것 은 프 라 이 덴 탈 이 말 한'수학 은 내용 과 형식의 상호 영향 속 에서 발견 되 고 조직 적 인 활동'의 의미 일 것 이다.피 츠 바 인(Efraim Fischbein)은"수학자 의 이상 은 엄밀 하고 조리 있 으 며 논리 적 구 조 를 가 진 지식 실 체 를 얻 는 것"이 라 고 말 했다.이 사실은 수학 을 창조 적 인 과정 으로 봐 야 한 다 는 것 을 배제 할 수 없다.수학 은 본질 적 으로 인류 활동 이 고 수학 은 인류 가 발명 한 것 이다.수학 활동 은 형식,산법 과 직각 등 세 가지 기본 성분 간 의 상호작용 으로 구성 된다.쿠 랑 과 로 빈 슨(Courani Robbins)도"수학 은 인류 의지의 표현 으로 적 극적인 의 사 를 나타 낸다"고 말 했다.심사숙고 한 추리 와 정교 하고 완 선 된 소망 의 기본 요 소 는 논리 와 직관,분석 과 구조,일반성 과 개별성 이다.서로 다른 전통 이 서로 다른 측면 을 강조 할 수 있 지만 이러한 대립 세력 의 상호작용 과 그들의 종합 을 위 한 분투 만 이 수학 과학 의 생명,효용 과 높 은 가 치 를 구성 할 수 있다.
또한 수학 에 대해 더욱 넓 은 의미 의 이해 도 있다.예 를 들 어 어떤 사람들 은'수학 은 문화 체계','수학 은 언어',수학 활동 은 사회 적 인 것 이 라 고 생각한다.이것 은 인류 문명 발전의 역사 과정 에서 인류 가 자연 을 인식 하고 적응 하 며 자연 을 개조 하 는 것 이다.자신 과 사 회 를 보완 하 는 고도 의 지혜 의 결정 이다.수학 은 인류의 사고방식 에 관건 적 인 영향 을 미 쳤 다.어떤 사람들 은 수학 은 예술 이 라 고 생각한다.수학 을 하나의 학과 로 보 는 것 보다 나 는 그것 을 예술 로 보 는 것 을 거의 좋아한다.왜냐하면 수학자 들 이 이성 세계 의 지도 아래(통제 하 는 것 은 아니 지만)보 여 준 오 랜 창조 적 활동 이기 때문이다.예술가,예 를 들 어 화가의 활동 과 비슷 한 점 을 가지 고 있다.이것 은 억측 이 아니 라 진실 이다.수학자 의 엄격 한 연역 추 리 는 여기 서 전문 적 인 기술 에 비유 할 수 있다.마치 한 사람 이 일 정량의 기능 을 갖 추 지 않 으 면 화가 가 될 수 없 듯 이 일정한 수준의 정확 한 추 리 력 을 갖 추 지 않 으 면 수학자 가 될 수 없다.이런 품질 은 가장 기본 적 인 것 이다.이 는 다른 미묘 하고 많은 품질 과 함께 우수한 예술가 나 우수한 수학자 의 소양 을 구성 해 야 한다.그 중에서 가장 중요 한 것 은 두 가지 상황 에서 모두 상상력 이다.'수학 은 추리 의 음악 이 고'음악 은 이미지 의 수학'이다.이것 은 수학 연구 의 과정 과 수학자 가 갖 춰 야 할 품질 로 수학의 본질 을 논술 하 는 것 이다.수학 을 사물 을 대 하 는 기본 적 인 태도 와 방법,정신 과 관념,즉 수학 정신,수학 관념 과 태도 로 보 는 사람 도 있다.니스(Mogens Niss)등 은 라 는 글 에서 수학 은 하나의 학과 라 고 주장 했다.'인식론 의 의미 에서 그것 은 과학 이 고 목 표 는 특정한 분야 의 대상,현상,관계 와 메커니즘 등.만약 에 이 분야 가 우리 가 흔히 생각 하 는 수학 실체 로 구성 된다 면 수학 은 순수 과학 의 역할 을 한다.이런 상황 에서 수학 내부 의 자기 발전 과 자기 이 해 를 목표 로 외부 세계 에서 독립 하고 다른 한편,고려 하 는 분야 가 수학 밖 에 존재 한다 면 수학 은 과학적 인 역할 을 한다.수학의 이 두 측면 간 의 차 이 는 수학 내용 자체 의 문제 가 아니 라 사람들 이 주목 하 는 초점 이 다르다.순수 하 든 응용 하 든 과학 의 수학 으로서 지식 과 통찰력 을 형성 하 는 데 도움 이 된다.수학 도 도구,제품 과 과정 으로 구 성 된 시스템 으로 수학 이외 의 실천 분야 와 관련 된 결정 과 행동 을 하 는 데 도움 이 된다."수학 은 미학의 한 분야 로 그 속 에 심취 한 많은 사람들 에 게 미 적 감각,즐거움 과 흥분 에 대한 체험 을 제공 할 수 있다.한 학과 로 서 수학의 전파 와 발전 은 모두 차세 대 사람들 에 게 파악 되 어야 한다.수학의 학습 은 동시에 자동 으로 진행 되 지 않 고 사람 에 의 해 전수 되 어야 하기 때문에 수학 도 우리 사회의 교육 체계 중의 한 교과 과목 이다."
상기 에서 보 듯 이 사람들 은 수학 내부(수학의 내용,표현 형식 과 연구 과정 등 몇 가지 측면 에서),수학 과 사회의 관계,수학 과 다른 학과 의 관계,수학 과 사람의 발전 관계 등 몇 가지 측면 에서 수학의 성격 을 토론 했다.그들 은 모두 한 측면 에서 수학의 본질 적 특징 을 나 타 냈 다.우리 에 게 수학의 성질 을 전면적으로 인식 하 는 데 시각 을 제공 했다.
수학의 본질 적 특징 에 대한 상술 한 인식 을 바탕 으로 사람들 도 서로 다른 측면 에서 수학의 구체 적 인 특징 을 토론 했다.비교적 보편적 인 관점 은 수학 은 추상 성,정확성 과 응용의 광범 위성 등 특징 이 있 는데 그 중에서 가장 본질 적 인 특징 은 추상 성 이다.A.알렉산더 로프 가 말 했다."심지어 수학 에 대해 얕 은 지식 만 있 으 면 수학의 이러한 특징 을 쉽게 감지 할 수 있다.첫째 는 추상 성 이 고,둘 째 는 정확성 이다.또는 그 는 논리의 엄격 성과 결론 의 확실성 이 라 고 할 수 있다.마지막 으로 그의 응용의 극단 적 인 광범 위성 이다."왕 재 곤 은"수학의 특징 은 내용 의 추상 성,응용의 광범 위 함"이 라 고 말 했다.