1 원 3 차 방정식 의 해법 을 알 고 싶 습 니 다.

1 원 3 차 방정식 의 해법 을 알 고 싶 습 니 다.

1 원 3 차 방정식 의 구 근 공식 은 일반적인 연역 적 사 고 를 사용 해 서 는 안 된다. 1 원 2 차 방정식 을 푸 는 구 근 공식 과 유사 한 조합 방법 으로 x ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d + 0 의 표준 형 1 원 3 차 방정식 을 x ^ 3 + p x + q = 0 의 특수 형 으로 만 들 수 있다.
1 원 3 차 방정식 의 풀이 공식 의 해법 은 귀납 적 사고 로 만 얻 을 수 있다. 즉, 1 원 1 차 방정식, 1 원 2 차 방정식 과 특수 한 고 차 방정식 의 구 근 공식 형식 에 따라 1 원 3 차 방정식 의 구 근 공식 의 형식 을 귀납 할 수 있다. 귀납 적 인 형 태 는 x ^ 3 + p x + q = 0 의 1 원 3 차 방정식 의 구 근 공식 형식 은 x = A ^ (1 / 3) + B ^ (1 / 3) 형 으로 나 와 야 한다.즉, 두 개의 개방 입방 의 합 이다. 1 원 3 차 방정식 의 구 근 공식 을 귀납 한 형식 이다. 다음 작업 은 바로 입방 안의 내용 을 구 하 는 것 이다. 즉, p 와 q 로 A 와 B 를 표시 하 는 것 이다. 방법 은 다음 과 같다.
(1) x = A ^ (1 / 3) + B ^ (1 / 3) 양쪽 을 동시에 큐 브 하면
(2) x ^ 3 = (A + B) + 3 (AB) ^ (1 / 3) (A ^ (1 / 3) + B ^ (1 / 3)
(3) x = A ^ (1 / 3) + B ^ (1 / 3) 때문에 (2)
x ^ 3 = (A + B) + 3 (AB) ^ (1 / 3) x, 이 항 시 획득 가능
(4) x ^ 3 - 3 (AB) ^ (1 / 3) x - (A + B) = 0, 1 원 3 차 방정식 과 특수 형 x ^ 3 + p x + q = 0 을 비교 해 보면 알 수 있다.
(5) － 3 (AB) ^ (1 / 3) = p, - (A + B) = q, 간소화
(6) A + B = q, AB = - (p / 3) ^ 3
(7) 이렇게 해서 1 원 3 차 방정식 의 구 근 공식 을 1 원 2 차 방정식 의 구 근 공식 문제 로 만 들 었 다. A 와 B 는 1 원 2 차 방정식 의 두 뿌리 로 볼 수 있 고 (6) 는 ay ^ 2 + by + c = 0 의 1 원 2 차 방정식, 두 근 의 웨 다 정리, 즉
(8) y1 + y2 = (b / a), y1 * y2 = c / a
(9) 대비 (6) 와 (8), A = y 1, B = y2, q = b / a, - (p / 3) ^ 3 = c / a
(10) Y ^ 2 + by + c = 0 의 일원 이차 방정식 으로 구 근 공식 은
y1 = (b + (b ^ 2 － 4ac) ^ (1 / 2) / (2a)
y2 = (b － (b ^ 2 － 4ac) ^ (1 / 2) / (2a)
되다
(11) y1 = (b / 2a) - (b / 2a) ^ 2 - (c / a) ^ (1 / 2)
y2 = (b / 2a) + (b / 2a) ^ 2 - (c / a) ^ (1 / 2)
(9) 중의 A = y1, B = y2, q = b / a, - (p / 3) ^ 3 = c / a 를 대 입 (11) 하면
(12) A = (q / 2) - (q / 2) ^ 2 + (p / 3) ^ 3) ^ (1 / 2)
B = (q / 2) + (q / 2) ^ 2 + (p / 3) ^ 3) ^ (1 / 2)
(13) A, B 를 x = A ^ (1 / 3) + B ^ (1 / 3) 득
(14) x = (- (q / 2) - (q / 2) ^ 2 + (p / 3) ^ 3 (1 / 2) ^ (1 / 3) + (- (q / 2) + ((q / 2) ^ 2 + (p / 3) ^ (1 / 2) ^ (1 / 3)
식 (14) 은 1 원 3 방정식 의 하나의 실 근 해 일 뿐 이 고 웨 다 의 정리 에 따라 1 원 3 차 방정식 은 3 개의 근 이 있어 야 한다. 그러나 웨 다 의 정리 에 따라 1 원 3 차 방정식 은 그 중의 한 개 만 구하 면 다른 두 개 는 쉽게 구 할 수 있다.