關於證明“Φ是任何集合的子集”的疑問大多書上都是用反證法（假設存在元素x屬於Φ，但x不屬於集合A，那麼“Φ不是任何集合的子集”.但由於Φ不存在任何元素，所以先前假設的內容“Φ不是任何集合的子集”是錯誤的，即待證結論“Φ是任何集合的子集”是正確的）. 但是我覺得這樣證不對.換個思路，如果要證明“Φ是任何集合的子集”，只要能證明（元素x屬於Φ，且x屬於集合A）就可以了，但由於Φ不存在任何元素，所以假設（元素x屬於Φ，且x屬於集合A）是錯誤的，即“Φ不是任何集合的子集”.難道真的“Φ不是任何集合的子集”？所以我覺得用Φ的定義（Φ不存在任何元素）和子集的定義（元素x屬於A，且x屬於B，那麼A是B的子集）這2個“工具”來反證“Φ是任何集合的子集”是行不通的.因為用子集的定義來推翻假設，前提是子集定義中的集合A，B必須都是有元集合，即非Φ集合，不適合於Φ.所以我認為“Φ是任何集合的子集”這個應該是人為强行賦予的定義，而非通過反證明推出來的一個定理. 子集的定義[若存在（所有）元素x屬於集合A，那麼x都屬於集合B，當且僅當這樣A就是B的子集] 設命題P：（所有）元素x屬於集合A； Q:x屬於集合B； Z:A是B的子集；子集的定義可化成命題公式是：ZP->Q（1）再設命題a：元素x屬於Φ； b：元素x屬於任意集合A； c：Φ是任意集合A的子集；帶入上命題公式（1）中，其實就是要證明帶入後是一個永真式，即命題a=T，b=F是不可能的，因為命題a的真值永=T（Φ的定義），所以命題c永=T，即“Φ是任意集合A的子集”……證畢！是不是這樣的？

元素x屬於A=>元素x屬於B（1）等價於：元素x不屬於B=>元素x不屬於A（2）所以只要證明對於任意集合B，只要x不屬於B，則x不屬於Φ就可以了.這一點是顯然的，一比特任何元素都不屬於Φ至於（2）和（1）為什麼等價，這裡只證從（2…

能證明空集是任何集合的子集嗎？求答案

六年制中學高中數學課本的集合部分中規定：“空集是任何集合的子集.此外，在一些小册子中還有人把“空集是任何集合的子集”作為定理，其證法如下：“假定相反，空集必不是集合A的子集，則必中至少有一個元素不屬於A，而這與空集定義相衝突，囙此必紅性.

因為每一個非空集删掉其中的元素都是個空集.
非空集＝空集＋元素
前者當然包括後者.