고1 수학 수열 문제 수열 An Bn에서 A1=B1=1, An+1=An/2An+1, Bn+1-Bn=1/An, Sn=1/B1+1/B2+1/B3+.+1/Bn 1; Bn을 구하다 2; 증명서 Sn 4분의 9 미만

고1 수학 수열 문제 수열 An Bn에서 A1=B1=1, An+1=An/2An+1, Bn+1-Bn=1/An, Sn=1/B1+1/B2+1/B3+.+1/Bn 1; Bn을 구하다 2; 증명서 Sn 4분의 9 미만

[이 제목을 이해하려면 정말 힘듭니다.a(n+1)=an/(2an+1)이지요?괄호를 달면 얼마나 좋을까, 그렇지 않으면 2개가 헷갈려.]
1.a(n+1)=an/(2an+1) 양쪽을 동시에 역수를 취해 1/a(n+1)=1/an+2.
그래서 수열{1/an}은 등차수 열, 첫 번째 항목은 1, 공차는 2.
따라서 1/an=1/a1+2(n-1)=2n-1.
그럼 B(n+1)-Bn=2n-1(참고:아래의 구법습관상 중첩법을 쓴다)
B(n)-B(n-1)=2n-3
..
B(2) - B(1) = 1
이 같은 방정식을 더하면 B(n+1)-B(1)=1+3+5+.+2n-1=n^2 (오른쪽에 사용된 것은 구등차수 열 앞 N항과 공식으로 습관적으로 가우스로 1에 100을 더하는 방법과 유사하며, 먼저 평균을 구한 후 개수를 곱하면 여기 개수가 정해지지 않으면 그 등식의 제2항을 보고 B의 표시는 1부터 n까지 총 n항)
그래서 B(n+1)=n^2+B(1)=n^2+1.동리B(n)=(n-1)^2+1=n^2-2n+2(검증B1도 차식 충족)
2.(이런 제목은 보통 적절한 스케일링을 거치면 증명할 수 있음)
왜냐하면 n^2-2n+2>n^2-2n=n(n-2)
그래서 1/(n^2-2n+2)