알려 진 함수 f(x)=sin²x+acosx+5/8a-3/2,a*8712°R a=1 시 함수 f(x)의 최대 치 를 구하 십시오. 구간[0,pi/2]에 있 는 임의의 x 는 모두 f(x)≤1 이 성립 되 고 실수 a 의 수치 범 위 를 구한다.

알려 진 함수 f(x)=sin²x+acosx+5/8a-3/2,a*8712°R a=1 시 함수 f(x)의 최대 치 를 구하 십시오. 구간[0,pi/2]에 있 는 임의의 x 는 모두 f(x)≤1 이 성립 되 고 실수 a 의 수치 범 위 를 구한다.

(1)a=1 시 f(x)=sin&\#178;x+cosx-7/8 대 f(x)에 대한 유도,득:f′(x)=2 sinxcosx-sinx=sinx(2cosx-1)령 f′(x)=0,득:sinx=0 또는 cosx=1/2 그 주기 x*8712°[0,2 pi]가 x*8712(0,pi/3)일 때 f′(x)＞0,f(x)가 x*x(x)의 단조 로 운 증가 가 x*8712°(pi/3,pi)일 때 f(pi/3,pi)가 f(x)＜0,f(x)＜0,f(x)가 단조 로 운 감소 가 x*8712(x)일 때 f(x**x)가 x****************)시 f′(x)＞0,f(x)가 단 조 롭 게 x*8712°(5 pi/3,2 pi)로 증가 할 때 f′(x)＜0,f(x)단조 로 운 체감 비교 두 개의 최대 치 f(pi/3)와 f(5 pi/3)득:f(5 pi/3)=f(pi/3)=3/8 그래서 a=1 일 때 f(x)의 최대 치 는 3/8(2)령 t=cosx 이면 1-t&\#178;=sin²x,x*8712°[0,pi/2]에 대해 t*8712°[0,1]가 있 기 때문에 f(x)=1-t&\#178;+at+(5/8)a-3/2=-t²+at+(5/8)a-1/2 령 g(t)=-t&\#178;+at+(5/8)a-1/2,g(t)가 최대 치 를 얻 을 때 대응 하 는 f(x)도 같은 최대 치 를 얻 을 수 있 는 g(t)에 대한 구 도 를 얻 을 수 있다.g′(t)=a-2t 가 a≤0 일 때 t*8712[0,1]에 대해 g′(t)≤0,g(t)는 t*8712[0,1]에서 단 조 롭 게 감소 하여 t=0 시 g(t)가 최대 치 g(t)를 얻 는 g(t)(t)가 최대 치 g(0)=(5/8)a/3/3/3/2＜0,제목 에 맞 는 a＞2 를 설정 할 때 g′(t)가 t***********t)가 t****플러스,g(t)는 t*8712°[0,1]에서 단 조 롭 게 증가 합 니 다.따라서 t=1 시 g(t)이 최대 치 g(1)=(13/8)a-3/2 령(13/8)a-3/2≤1 을 얻 으 면 a≤20/13＜2 를 얻 고 0＜a≤2 에 부합 되 지 않 을 때 g′(t)는 t 8712°[0,a/2)일 때 플러스 이 고 t 8712°(a/2,1]일 때 마이너스 가 t*8712°[0,a/2)일 때 g(t)가 단 조 롭 게 증가한다.t*8712°(a/2,1]시 g(t)이 단조 로 운 체감 t=a/2 시 g(t)이 최대 치 g(a/2)=a&\#178 을 얻 습 니 다./4+(5/8)a-1/2 령 g(a/2)≤1,a&\#178 획득;/4+(5/8)a-3/2≤0,즉 2a&\#178;+5a-12≤0,(2a-3)(a+4)≤0 해 출-4≤a≤3/2,따라서 0＜a≤3/2*8756℃에서 구 하 는 a 의 범 위 는 a≤3/2