p是質數2^ p+3^p=a^n證明n=1

p是質數2^ p+3^p=a^n證明n=1

令（k+6）^2=n+36=2^a*3^b.則k（k+12）=2^a*3^b.
令k=2^c*3^d，則2^c*3^d+2^2*3=2^e*3^f.
d=0時，若c<；2，則無解.
若c>；=2，
令p=c-2，s=e-2，t=f.
有2^p+3=2^s*3^t.（III）
s>；=p時，則p=0，得s=2，t=0，n=2^6=64.
s<；p時，則s=0,2^p+3=3^t.無解.
d>；=1時，若c<；2，
則令p=2-c>；0，q=d-1>；=0，s=e-c，t=f-1，有3^q+2^p=2^s*3^t
若p<；=s，則p=0，（舍去）
若p>；s，則s=0,3^q+2^p=3^t
若q<；=t，則q=0,1+2^p=3^t，因為0<；p<；=2，故p=1，t=1，
c=1，d=1，k=2*3=6，n=2^2*3^3=108.
若d>；=1且c>；=2
令p=c-2，q=d-1，s=e-2，t=f-1.
有2^p*3^q+1=2^s*3^t.
若s>；=p，則1=2^p*（2^（s-p）*3^t-3^q）.所以，p=0，
1=2^（s-p）*3^t-3^q.
若t>；=q，則同理q=0,2^s*3^t=2，s=1，t=0.
k=2^2*3=12，n=2^5*3^2=288.
若t<；q，則t=0,2^s-3^q=1，q>；0
若s<；p，則s=0.
若t>；=q，則q=0，-2^p+3^t=1.t>；=0
若t<；q，則t=0,2^p*3^q+1=0，無解.
囙此原問題轉化為求解
2^s=3^q+1及2^p+1=3^t.
對於2^s=3^q+1，q>；0（II）
s=2，q=1是其一解，
囙此n=2^6*3^3=1728
對於2^p+1=3^t，t>；=0（I），p=1，t=1是解n=2^5*3^3=864
p=3，t=2是解，n=2^7*3^4=10368.
可以證明t>；2時，（I）無解；q>；1時，（II）無解.
故n可為64108288172886410368.
證明t>；2時，2^p+1=3^t無解；q>；1時，2^s=3^q+1無解.
因為t>；2，則9|2^p+1.而2^p+1=（3-1）^p+1=9w+p*（-1）^（p-1）*3+（-1）^p+1=9w+v.
若p為奇數，則v=3p-1+1=3p，解未定.
若p為偶數，則v=-3p+1+1,9！|v，故無解.
因為q>；1時，s>；2,2^s-1=（3-1）^s-1=9w+s*（-1）^（s-1）*3+（-1）^s-1=9w+v.9|2^s+1.
若s為奇數，則v=3p-1-1=3p-2,9！|v，故無解.
若s為偶數，則v=-3p+1-1=3p，解未定.
2^p+1=3^t（I），2^s-1=3^q（II）
若q<；=t，則必有s<；=p，則（2^s-1）|（2^p+1）.
2^p+1除以2^s-1的餘數為w=p%s，w<；s，2^w+1=2^s-1.
得w=1，s=2.
經電腦驗證（I），（II）在100之內無其它解.