p 는 질 수 2 ^ p + 3 ^ p = a ^ n 증명 n = 1

p 는 질 수 2 ^ p + 3 ^ p = a ^ n 증명 n = 1

명령 (k + 6) ^ 2 = n + 36 = 2 ^ a * 3 ^ b. 즉 k (k + 12) = 2 ^ a * 3 ^ b.
명령 k = 2 ^ c * 3 ^ d, 2 ^ c * 3 ^ d + 2 ^ 2 * 3 = 2 ^ e * 3 ^ f.
d = 0 시, c & lt; 2 면 풀 리 지 않 습 니 다.
c & lt; = 2,
명령 p = c - 2, s = e - 2, t = f.
2 ^ p + 3 = 2 ^ s * 3 ^ t. (III) 가 있 습 니 다.
s & lt; p 시 에는 p = 0, s = 2, t = 0, n = 2 ^ 6 = 64.
s & lt; p 시, s = 0, 2 ^ p + 3 = 3 ^ t. 풀 리 지 않 음.
d & lt; = 1 시, c & lt; 2 시,
명령 p = 2 - c & lt; 0, q = d - 1 & lt; = 0, s = e - c, t = f - 1, 3 ^ q + 2 ^ p = 2 ^ s * 3 ^ t
p & lt; = s 이면 p = 0, (포기)
p & lt; s 이면 s = 0, 3 ^ q + 2 ^ p = 3 ^ t
만약 q & lt; t, 면 q = 0, 1 + 2 ^ p = 3 ^ t, 0 & lt; p & lt; = 2, 그러므로 p = 1, t = 1,
c = 1, d = 1, k = 2 * 3 = 6, n = 2 ^ 2 * 3 ^ 3 = 108.
d & lt; = 1 및 c & lt; = 2
명령 p = c - 2, q = d - 1, s = e - 2, t = f - 1.
2 ^ p * 3 ^ q + 1 = 2 ^ s * 3 ^ t 가 있 습 니 다.
s & lt; = p 이면 1 = 2 ^ p * (2 ^ (s - p) * 3 ^ t - 3 ^ q). 그래서 p = 0,
1 = 2 ^ (s - p) * 3 ^ t - 3 ^ q.
t & lt; = q 이면 같은 이치 q = 0, 2 ^ s * 3 ^ t = 2, s = 1, t = 0.
k = 2 ^ 2 * 3 = 12, n = 2 ^ 5 * 3 ^ 2 = 288.
t & lt; q 이면 t = 0, 2 ^ s - 3 ^ q = 1, q & lt; 0;
s & lt; p 이면 s = 0.
t & lt; = q, 이면 q = 0, - 2 ^ p + 3 ^ t = 1. t & lt; = 0
t & lt; q 이면 t = 0, 2 ^ p * 3 ^ q + 1 = 0, 풀 리 지 않 음.
그래서 원래 의 문 제 는 구 해 로 바 뀌 었 다.
2 ^ s = 3 ^ q + 1 및 2 ^ p + 1 = 3 ^ t.
2 ^ s = 3 ^ q + 1, q & lt; 0 (II)
s = 2, q = 1 은 그 풀이 다.
그러므로 n = 2 ^ 6 * 3 ^ 3 = 1728
2 ^ p + 1 = 3 ^ t, t & lt; = 0 (I), p = 1, t = 1 은 해 n = 2 ^ 5 * 3 ^ 3 = 864
p = 3, t = 2 는 해, n = 2 ^ 7 * 3 ^ 4 = 10368.
t & lt; 2 시, (I) 해 가 없 음 을 증명 할 수 있 습 니 다. q & lt; 1 시, (II) 해 가 없습니다.
그러므로 n 은 64108288172886410368 이다.
증명 t & lt; 2 시, 2 ^ p + 1 = 3 ^ t 풀 리 지 않 음; q & lt; 1 시, 2 ^ s = 3 ^ q + 1 풀 리 지 않 음.
t & lt; 2 는 9 | 2 ^ p + 1 이기 때문에 2 ^ p + 1 = (3 - 1) ^ p + 1 = 9 w + p * (- 1) ^ (p - 1) * 3 + (- 1) ^ p + 1 = 9 w + v.
p 가 홀수 일 경우, v = 3 p - 1 + 1 = 3 p, 미 정.
p 가 짝수 이면 v = - 3p + 1 + 1, 9! | v 이 므 로 풀 리 지 않 습 니 다.
왜냐하면 q & lt; 1 시, s & lt; 2, 2 ^ s - 1 = (3 - 1) ^ s - 1 = 9 w + s * (- 1) ^ (s - 1) * 3 + (- 1) ^ s - 1 = 9 w + v. 9 | 2 ^ s + 1.
s 가 홀수 이면 v = 3p - 1 = 3 p - 2, 9! | v 이 므 로 풀 리 지 않 습 니 다.
s 가 짝수 이면 v = - 3p + 1 - 1 = 3p, 미 정.
2 ^ p + 1 = 3 ^ t (I), 2 ^ s - 1 = 3 ^ q (II)
q & lt; t; t 이면 s & lt; = p, 즉 (2 ^ s - 1) | (2 ^ p + 1).
2 ^ p + 1 나 누 기 2 ^ s - 1 의 나머지 수 는 w = p% s, w & lt; s, 2 ^ w + 1 = 2 ^ s - 1.
득 w = 1, s = 2.
컴퓨터 에 의 해 검 증 된 (I), (II) 는 100 이내 에 다른 해석 이 없습니다.