증명 다항식 a0 * x ^ n + a1 * x ^ n - 1 + a 2 * x ^ n - 2 +... an = 0 이 홀수 일 때 적어도 한 개의 뿌리 가 있다. (a0! = 0)

증명 다항식 a0 * x ^ n + a1 * x ^ n - 1 + a 2 * x ^ n - 2 +... an = 0 이 홀수 일 때 적어도 한 개의 뿌리 가 있다. (a0! = 0)

a0 > 0 을 설정 해도 무방 하 다.
우 리 는 x 가 충분 한 정비례 일 때 여러 가지 방식 이 플러스 를 취하 고 x 는 절대적 인 수치 가 충분 한 마이너스 실수 일 때 마이너스 가 된다 는 것 을 증명 한다.
그래서 0 을 취 하 는 점, 즉 실제 뿌리 가 존재 한다.
실제, | x | > | a 1 / a0 | + a 2 / a0 | +.. + | an / a0 | + 1.
| a0 · x ^ n | | | a 1 · x ^ n | + a 2 · x ^ n | +.. + | an · x ^ n |
> | a 1 · x ^ (n - 1) | + a 2 · x ^ (n - 2) | +.. + | an |
≥ | a 1 · x ^ (n - 1) + a 2 · x ^ (n - 2) +.. + an |.
a0 > 0, 약 x > 0 이면 a0 · x ^ n > 0, a0 · x ^ n + a 1 · x ^ (n - 1) + a 2 · x ^ (n - 2) +... + an > 0.
a 0 > 0, n 이 홀수 이 고, x 0 이면 a 0 · x ^ n < 0, a 0 · x ^ n + a 1 · x ^ (n - 1) + a 2 · x ^ (n - 2) +... + n < 0.
그리고 a0 · x ^ n + a 1 · x ^ (n - 1) + a 2 · x ^ (n - 2) +... + an 은 x 연속 에 관 하여 0 점 이 존재 합 니 다.
다른 방법 은 대수 기본 정리, n 차 방정식 에 n 개의 복근 이 있다.
그러나 실제 계수 인 일원 다항식 방정식 은 허근 이 쌍 을 이 루 지만 n 은 홀수 이 므 로 실제 뿌리 가 존재 한다.