證明多項式a0*x^n+a1*x^n-1+a2*x^n-2+.+…an=0當n為奇數時，至少有一實根.（a0！=0）

證明多項式a0*x^n+a1*x^n-1+a2*x^n-2+.+…an=0當n為奇數時，至少有一實根.（a0！=0）

不妨設a0 > 0.
我們證明x為充分大的正實數時，多項式取正值，而x為絕對值充分大的負實數時取負值.
於是存在取零的點，即實根.
實際上，當|x| > |a1/a0|+|a2/a0|+…+|an/a0|+1.
有|a0·x^n| > |a1·x^n|+|a2·x^n|+…+|an·x^n|
> |a1·x^（n-1）|+|a2·x^（n-2）|+…+|an|
≥|a1·x^（n-1）+a2·x^（n-2）+…+an|.
由a0 > 0，若x > 0，則a0·x^n > 0，有a0·x^n+a1·x^（n-1）+a2·x^（n-2）+…+an > 0.
由a0 > 0，n是奇數，若x < 0，則a0·x^n < 0，有a0·x^n+a1·x^（n-1）+a2·x^（n-2）+…+an < 0.
而a0·x^n+a1·x^（n-1）+a2·x^（n-2）+…+an關於x連續，故存在零點.
另一種方法，由代數基本定理，n次方程有n個複根.
而實係數一元多項式方程虛根成對，但n是奇數，故存在實根.