증명 다항식 f (x) = x ^ 3 + 3 x + 1 은 유리수 역 에서 약속 할 수 없다 대학 대학 대수 도움 요청!

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하나의 3 차 다항식 이 유리수 역 에서 약 속 될 경우 에는 반드시 유리 한 1 차 인 자 를 포함 해 야 한다.
바 꾸 어 말 하면 반드시 이유 근 이 있어 야 한다.
f (x) 에 유리 근 p / q 가 있다 고 가정 하면 p, q 는 상호 질의 정수 이다.
f (x) 는 전체 계수 다항식 으로서 p 가 상수 항 을 정 제 했 음 을 증명 할 수 있 고, q 가 첫 번 째 항 계 수 를 정 제 했 음 을 증명 할 수 있다.
f (x) = x ^ 3 + 3x + 1 에 게 는 p / q = 1 또는 - 1 밖 에 없다.
그러나 쉽게 검증 1 과 - 1 은 모두 f (x) 의 뿌리 가 아니 므 로 f (x) 는 유리 한 뿌리 가 없 기 때문에 유리 한 수 역 에서 약속 할 수 없다.
4 회 이상 의 유리 계수 다항식 에 대하 여
유리 근 은 없다. 단지 유리수 역 에서 약속 할 수 없 는 필수 조건 은 충분 하지 않다.