고교 부등식 증명 a b c = 1, 그리고 a, b, c 를 실수 로 증명: 1 / a + 1 / b + 1 / c + 3 / (a + b + c) > = 4

고교 부등식 증명 a b c = 1, 그리고 a, b, c 를 실수 로 증명: 1 / a + 1 / b + 1 / c + 3 / (a + b + c) > = 4

이 문 제 는 중등 수학 에서 올림픽 문제 (고등학교) 입 니 다: a, b, c 는 모두 양수 여야 합 니 다!

부등식 고 를 증명 하 다
(x + 1 / x) ^ n + 2 > = x ^ n + 1 / (x ^ n) + 2 ^ n
n = 1, 2, 3, 4.

이 항 식 정리 구 해
(x + 1 / x) ^ n = x ^ n + x ^ (n - 2) +...+ x ^ 2 + 1 + x ^ (- 2) +...+ x ^ (n + 2) + x (n) (이 항 식 정리)
그래서 (x + 1 / x) ^ n - (x ^ n + 1 / x ^ n)
= x ^ (n - 2) +...+ x ^ 2 + 1 + x ^ (- 2) +...+ x ^ (- n + 2)
= (x + 1 / x) ^ (n - 2)
부등식 x + 1 / x ≥ 2 에 따라
그래서 (x + 1 / x) ^ (n - 2) ≥ 2 ^ (n - 2)
(x + 1 / x) ^ n - (x ^ n + 1 / x ^ n) ≥ 2 ^ n - 2
즉 (x + 1 / x) ^ n + 2 ≥ (x ^ n + 1 / x ^ n) + 2 ^ n

고등학교 의 부등식 증명 문제.
만약 a > 0, b > 0, a + b = 1, 증명 (a + 1 / a) × (b + 1 / b) ≥ 25 / 4

원 식 은 (ab + 1 / ab) + (a / b + b / a) 와 같 고 두 그룹 으로 나 누 어 최소 치 를 구 하 며 1 조 에 대해 서 는 분명 0