設數列{an}的前n項和為Sn，且2an=Sn+2n+1（n∈N*）.（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）求證：數列{an+2}是等比數列；（Ⅲ）求數列{n•an}的前n項和Tn.

設數列{an}的前n項和為Sn，且2an=Sn+2n+1（n∈N*）.（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）求證：數列{an+2}是等比數列；（Ⅲ）求數列{n•an}的前n項和Tn.

（本小題滿分13分）（I）由題意，當n=1時，得2a1=a1+3，解得a1=3.當n=2時，得2a2=（a1+a2）+5，解得a2=8.當n=3時，得2a3=（a1+a2+a3）+7，解得a3=18.所以a1=3，a2=8，a3=18為所求.…（3分）（Ⅱ）證明：因為2an=Sn+2n+1，所以有2an+1=Sn+1+2n+3成立.兩式相减得：2an+1-2an=an+1+2.所以an+1=2an+2（n∈N*），即an+1+2=2（an+2）.…（5分）所以數列{an+2}是以a1+2=5為首項，公比為2的等比數列.…（7分）（Ⅲ）由（Ⅱ） ；得：an+2=5×2n-1，即an=5×2n-1-2（n∈N*）.則nan=5n•2n-1-2n（n∈N*）.…（8分）設數列{5n•2n-1}的前n項和為Pn，則Pn=5×1×20+5×2×21+5×3×22+…+5×（n-1）•2n-2+5×n•2n-1，所以2Pn=5×1×21+5×2×22+5×3×23+…+5（n-1）•2n-1+5n•2n，所以-Pn=5（1+21+22+…+2n-1）-5n•2n，即Pn=（5n-5）•2n+5（n∈N*）.…（11分）所以數列{n•an}的前n項和Tn=（5n-5）•2n+5-2×n（n+1）2，整理得，Tn=（5n-5）•2n-n2-n+5（n∈N*）.…（13分）