兩個不同自然數的和是60,它們的最大公因數與最小公倍數的和也是60,滿足條件的自然數共有多少組?

兩個不同自然數的和是60,它們的最大公因數與最小公倍數的和也是60,滿足條件的自然數共有多少組?

兩個不同自然數之和是60,最大公因數與最小公倍數之和也為60.
先考慮這種情況,最小公倍數與最大公約數正好與此相等.此種情況下,大數與小數有倍比關係的.
如:(30,30)最大公約數與最小公倍數相同.
如：(20,40),(15,45),(10,50),(5,55)
還可以將60進行因式公解,可得(12,48)等等.
由此可知,這種情況下：
60=2*2*3*5
取因子為2時,有(30,30)一組
當因子為3時,有(20,40)一組
當因子為4時,有(15,45）一組!
當因子為5時,有(12,48),一組
當因子為6時,有(10,50)一組.
當因子為10時,有(6,54)一組
當因子為12時,有(5,55)一組
當因子為15時,有(4,56)一組
當因子為20時,有(3,57)一組.
當因子為30時,有（2,58）一組
當因子是60有(1,59)一組,不知道這組算不算?
所以共計為C(1,3)+[C(2,4)-C(1,2)]+[C(3,4)-c(2,3)]+C(4,4)=3+4+3+1=11組.
然後再找最大公約數與最小公倍數的值不與兩自然數相等的就可以了!但你可以完全去證明不存在這樣的數組的!