數學的角函數公式

數學的角函數公式

同角三角函數的基本關係
倒數關係：tanα·cotα＝1 sinα·cscα＝1 cosα·secα＝1商的關係：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα平方關係：sin^2（α）＋cos^2（α）＝1 1＋tan^2（α）＝sec^2（α）1＋cot^2（α）＝csc^2（α）
平常針對不同條件的常用的兩個公式
sin²；α+cos²；α=1 tanα*cotα=1
一個特殊公式
（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）證明：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=2 sin[（θ+a）/2] cos[（a-θ）/2] *2 cos[（θ+a）/2] sin[（a-θ）/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ）
銳角三角函數公式
正弦：sinα=∠α的對邊/∠α的斜邊余弦：cosα=∠α的鄰邊/∠α的斜邊正切：tanα=∠α的對邊/∠α的鄰邊餘切：cotα=∠α的鄰邊/∠α的對邊
二倍角公式
正弦sin2A=2sinA·cosA余弦1.Cos2a=Cos^2（a）-Sin^2（a）=2Cos^2（a）-1 =1-2Sin^2（a）2.Cos2a=1-2Sin^2（a）3.Cos2a=2Cos^2（a）-1正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2（A））
三倍角公式
sin3α=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α）cos3α=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α）tan3a = tan a·tan（π/3+a）·tan（π/3-a）三倍角公式推導sin（3a）=sin（a+2a）=sin2acosa+cos2asina =2sina（1-sin²；a）+（1-2sin²；a）sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos（2a+a）=cos2acosa-sin2asina =（2cos²；a-1）cosa-2（1-cos^a）cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina（3/4-sin²；a）=4sina[（√3/2）²；-sin²；a] =4sina（sin²；60°-sin²；a）=4sina（sin60°+sina）（sin60°-sina）=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°-a）/2]*2sin[（60°-a）/2]cos[（60°-a）/2] =4sinasin（60°+a）sin（60°-a）cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa（cos²；a-3/4）=4cosa[cos²；a-（√3/2）^2] =4cosa（cos²；a-cos²；30°）=4cosa（cosa+cos30°）（cosa-cos30°）=4cosa*2cos[（a+30°）/2]cos[（a-30°）/2]*{-2sin[（a+30°）/2]sin[（a-30°）/2]} =-4cosasin（a+30°）sin（a-30°）=-4cosasin[90°-（60°-a）]sin[-90°+（60°+a）] =-4cosacos（60°-a）[ -cos（60°+a）] =4cosacos（60°-a）cos（60°+a）上述兩式相比可得tan3a=tanatan（60°-a）tan（60°+a）
n倍角公式
sin（n a）=Rsina sin（a+π/n）……sin（a+（n-1）π/n）.其中R=2^（n-1）證明：當sin（na）=0時，sina=sin（π/n）或=sin（2π/n）或=sin（3π/n）或=……或=sin【（n-1）π/n】這說明sin（na）=0與｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*……*｛sina- sin【（n-1）π/n】=0是同解方程.所以sin（na）與｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*……*｛sina- sin【（n-1）π/n】成正比.而（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ），所以｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*……*｛sina- sin【（n-1π/n】與sina sin（a+π/n）……sin（a+（n-1）π/n）成正比（係數與n有關，但與a無關，記為Rn）.然後考慮sin（2n a）的係數為R2n=R2*（Rn）^2=Rn*（R2）^n.易證R2=2，所以Rn= 2^（n-1）
半型公式
tan（A/2）=（1-cosA）/sinA=sinA/（1+cosA）；cot（A/2）=sinA/（1-cosA）=（1+cosA）/sinA. sin^2（a/2）=（1-cos（a））/2 cos^2（a/2）=（1+cos（a））/2 tan（a/2）=（1-cos（a））/sin（a）=sin（a）/（1+cos（a））
和差化積
sinθ+sinφ= 2 sin[（θ+φ）/2] cos[（θ-φ）/2]
sinθ-sinφ= 2 cos[（θ+φ）/2] sin[（θ-φ）/2] cosθ+cosφ= 2 cos[（θ+φ）/2] cos[（θ-φ）/2] cosθ-cosφ= -2 sin[（θ+φ）/2] sin[（θ-φ）/2] tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB=tan（A+B）（1-tanAtanB）tanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB= tan（A-B）（1+tanAtanB）
兩角和公式
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβcos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβsin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
積化和差
sinαsinβ= [cos（α-β）-cos（α+β）] /2 cosαcosβ= [cos（α+β）+cos（α-β）]/2 sinαcosβ= [sin（α+β）+sin（α-β）]/2 cosαsinβ= [sin（α+β）-sin（α-β）]/2
雙曲函數
sinh（a）= [e^a-e^（-a）]/2 cosh（a）= [e^a+e^（-a）]/2 tanh（a）= sin h（a）/cos h（a）公式一：設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等：sin（2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanαcot（2kπ＋α）= cotα公式二：設α為任意角，π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關係：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三：任意角α與-α的三角函數值之間的關係：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關係：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關係：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α與α的三角函數值之間的關係：sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαcot（π/2+α）= -tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan（π/2-α）= cotαcot（π/2-α）= tanαsin（3π/2+α）= -cosαcos（3π/2+α）= sinαtan（3π/2+α）= -cotαcot（3π/2+α）= -tanαsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinαtan（3π/2-α）= cotαcot（3π/2-α）= tanα（以上k∈Z）A·sin（ωt+θ）+ B·sin（ωt+φ）=√{（A²；+B²；+2ABcos（θ-φ）}·sin{ωt + arcsin[（A·sinθ+B·sinφ）/√{A^2 +B^2；+2ABcos（θ-φ）} }√表示根號，包括{……}中的內容
誘導公式
sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）=-tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαsin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαsin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαsin（π+α）= -sinαcos（π+α）= -cosαtanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα誘導公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限
萬能公式
sinα=2tan（α/2）/[1+（tan（α/2））²；] cosα=[1-（tan（α/2））²；]/[1+（tan（α/2））²；] tanα=2tan（α/2）/[1-（tan（α/2））²；]
其它公式
（1）（sinα）²；+（cosα）²；=1（2）1+（tanα）²；=（secα）²；（3）1+（cotα）²；=（cscα）²；證明下麵兩式，只需將一式，左右同除（sinα）²；，第二個除（cosα）²；即可（4）對於任意非直角三角形，總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC證：A+B=π-C tan（A+B）=tan（π-C）（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）=（tanπ-tanC）/（1+tanπtanC）整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得證同樣可以得證，當x+y+z=nπ（n∈Z）時，該關係式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結論（5）cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1（6）cot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）（7）（cosA）²；+（cosB）²；+（cosC）²；= 1-2cosAcosBcosC（8）（sinA）²；+（sinB）²；+（sinC）²；=2+2cosAcosBcosC其他非重點三角函數csc（a）= 1/sin（a）sec（a）= 1/cos（a）
編輯本段內容規律
三角函數看似很多，很複雜，但只要掌握了三角函數的本質及內部規律就會發現三角函數各個公式之間有强大的聯系.而掌握三角函數的內部規律及本質也是學好三角函數的關鍵所在. 1、三角函數本質：
[1]根據右圖，有sinθ=y/ r；cosθ=x/r；tanθ=y/x；cotθ=x/y.深刻理解了這一點，下麵所有的三角公式都可以從這裡出發推導出來，比如以推導sin（A+B）= sinAcosB+cosAsinB為例：推導：首先畫組織圓交X軸於C，D，在組織圓上有任意A，B點.角AOD為α，BOD為β，旋轉AOB使OB與OD重合，形成新A'OD. A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），A'（cos（α-β），sin（α-β））OA'=OA=OB=OD=1，D（1，0）∴[cos（α-β）-1]^2+[sin（α-β）]^2=（cosα-cosβ）^2+（sinα-sinβ）^2和差化積及積化和差用還原法結合上面公式可推出（換（a+b）/2與（a-b）/2）組織圓定義組織圓六個三角函數也可以依據半徑為一中心為原點的組織圓來定義.組織圓定義在實際計算上沒有大的價值；實際上對多數角它都依賴於直角三角形.但是組織圓定義的確允許三角函數對所有正數和負數輻角都有定義，而不只是對於在0和π/2弧度之間的角.它也提供了一個圖像，把所有重要的三角函數都包含了.根據畢氏定理，組織圓的等式是：圖像中給出了用弧度度量的一些常見的角.逆時針方向的度量是正角，而順時針的度量是負角.設一個過原點的線，同x軸正半部分得到一個角θ，並與組織圓相交.這個交點的x和y座標分別等於cosθ和sinθ.圖像中的三角形確保了這個公式；半徑等於斜邊且長度為1，所以有sinθ= y/1和cosθ= x/1.組織圓可以被視為是通過改變鄰邊和對邊的長度，但保持斜邊等於1的一種查看無限個三角形的管道.兩角和公式
sin（A+B）= sinAcosB+cosAsinB sin（A-B）= sinAcosB-cosAsinB cos（A+B）= cosAcosB-sinAsinB cos（A-B）= cosAcosB+sinAsinB tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）cot（A+B）=（cotAcotB-1）/（cotB+cotA）cot（A-B）=（cotAcotB+1）/（cotB-cotA）

某人開車到某地，共行了100公里.前60公里時速為100，後40公里時速為120.求此人的平均速度？計算公式：100/（
計算公式：100/（60/100+40/120）=750/7
問；750、7分別代表什麼，是怎麼計算出來的？

100/（60/100+40/120）=100/（720/1200+400/1200）=100*1200/1120=750*160/7*160=750/7

請Excel公式函數高手來為小弟解釋一下此公式的含義.
=ROUND（（B3-MAX（B5-B4,0））*LOOKUP（-（B3-MAX（B5-B4,0））/12，-1000*{9999100,80,60,40,20,5,2,0.5,0}，5%*{9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}）-LOOKUP（-（B3-MAX（B5-B4,0））/12，-1000*{9999100,80,60,40,20,5,2,0.5,0}，25*{615415255135,55,15,5,1,0,0 }），2）
上述公式是年終獎所得稅的計算公式，B3儲存格是年終獎，B4是當月薪水，B5是起征點，當前為2000元.
小弟不太瞭解Excel的函數的定義，）特別是大括弧內那一大串數位為何要這