求f（x）=e^sinx的2階麥克勞林公式 我想知道後面的餘項怎麼算出來的…是個很複雜的東西

求f（x）=e^sinx的2階麥克勞林公式 我想知道後面的餘項怎麼算出來的…是個很複雜的東西

f（x）＝e^sinx，f（0）＝1
f'（x）＝e^sinx×cosx，f'（0）＝1
f''（x）＝e^sinx×cosx×cosx－e^sinx×sinx，f''（0）＝1
所以，e^sinx＝1＋x＋1/2×x^2＋o（x^2）
－－－－－－－－
餘項有兩種形式，o（x^2）為Peano型餘項，Lagrange型餘項要利用三階導數
f'''（x）＝－e^sinx×cosx×（sinx）^2－3e^sinx×sinxcosx
所以，Lagrange型餘項是1/6×f'''（ξ）×x^3
e^sinx＝1＋x＋1/2×x^2－1/6×[e^sinξ×cosξ×（sinξ）^2＋3e^sinξ×sinξcosξ]×x^3

f（x）=arctanx的麥克勞林級數展開式為________？

∑（-1）^n*x^（2n+1）/（2n+1）（n從0到∞）
|x|

函數f（x）=∫（1-cos√x）/x dx（上限x，下限0）的麥克勞林級數為
∑（-1）^（n-1）x^n/[（2n）！n]

cosx=1-x^2/2！+x^4/4！-.+（-1）^nx^（2n）/（2n）！+.
cos√x=1-x/2！+x^2/4！-.+（-1）^nx^（n）/（2n）！+.
1-cos√x=x/2！-x^2/4！+.+（-1）^（n-1）x^（n）/（2n）！+.
（1-cos√x）/x=1/2！-x/4！+.+（-1）^（n-1）x^（n-1）/（2n）！+.
所以：f（x）=∫（1-cos√x）/x dx
=∫（1/2！-x/4！+.+（-1）^（n-1）x^（n-1）/（2n）！+.）dx
=x/2！-x^2/4！2+.+（-1）^（n-1）x^（n）/（2n）！n+.
=∑（1，+∞）（-1）^（n-1）x^（n）/[（2n）！n]

cos級數的二階導數
已知f（x）是cos的級數n=0 -到--無限[（-1）^n*x^2n]/（2n）！
請用級數的管道證明f''（x）+f（x）=0
不要直接求二階導數cosx的管道

f（x）=cosx
而cosx=n從0到無窮大求和[（-1）^n*x^2n]/（2n）！，x屬於R.
故f'（x）={n從0到無窮大求和[（-1）^n*x^2n]/（2n）！}'
={n從0到無窮大求和[（-1）^n*x^2n]/（2n）！]'}
={n從0到無窮大求和[（-1）^n*2n*x^（2n-1）]/（2n）！]'}
={n從1到無窮大求和[（-1）^n*x^（2n-1）]/（2n-1）！]}
因此
f''（x）=[f'（x）]'
={n從1到無窮大求和[（-1）^n*x^（2n-1）]/（2n-1）！]}'
={n從1到無窮大求和[（-1）^n*x^（2n-1）]/（2n-1）！]'}
={n從1到無窮大求和[（-1）^n*（2n-1）*x^（2n-2）]/（2n-1）！]}
={n從1到無窮大求和[（-1）^n*x^（2n-2）]/（2n-2）！]}
={n從0到無窮大求和[（-1）^（n+1）*x^2n]/（2n）！}
=-{n從0到無窮大求和[（-1）^n*x^2n]/（2n）！}
=-f（x）
所以f''（x）+f（x）=0

f（x）=2^x展成麥克勞林級數是？

f '（x）=ln2 * 2^x
f ''（x）=（ln2）^2 * 2^x
……
f（x）的n階導數=（ln2）^n * 2^x，
所以當x=0時，2^x=1，
故f（0）=1，f '（0）=ln2，f“（0）=（ln2）^2……f（n）（0）=（ln2）^n，
故f（x）=2^x展成麥克勞林級數，
f（x）=f（0）+f '（0）x +f“（0）x^2 /2！+ f”'（0）x^3 /3！+……+ f（n）（0）x^n /n！+Rn（x）
=1 +ln2 *x +（ln2）^2 * x^2/2！+（ln2）^3 * x^3 /3！+……+（ln2）^n * x^n /n！+Rn（x）
其中Rn（x）為餘項

已知f（x）=[（1-x）^n]cos（πx），求f（1）的n階導數

不難理解，f（x）=[（1-x）^n]cos（πx）的n階導數中，相當於∑{[（1-x）^n]的m階導數*cos（πx）的n-m階導數}，其中m為小於等於n的自然數.明顯當m不等於n時，當x=1，[（1-x）^n]的m階導數的值為0.因此f（1）的n階導數=[（1-x）^n]的n階導…

怎麼求1/x的麥克勞林級數？

函數f（x）在x=0處的的泰勒級數稱為麥克勞林級數.
而泰勒級數要求f（x）在x0的某個領域內任意階可導.
但f（x）=1/x在x=0處連定義都沒有，更別說可導了.
囙此f（x）=1/x的麥克勞林級數是不存在的

f（x）=∫（0到x）e的-t^2次方dt展開成麥克勞林級數
寫出過程或者思路

f（x）=∫（0到x）e的-t^2次方dt則一階導數：e^（-x^2）.二階導數：-2xe^（-x^2）三階導數：-2e^（-x^2）+4x^2e^（-x^2）四階導數：-4xe^（-x^2）+8xe^（-x^2）-8x^3e^（-x^2）.顯然，f（0）=0f'（0）=1f''（0）= 0f'''（0）=-2則當n為奇數時，f^（…

帶拉格朗日餘項的麥克勞林公式的sin和cos展開項的問題
sin（x）的麥克勞林展開式
sin（x）= x - x^3 / + x^5 / +…+（（-1）^（m-1））*（（x^（2m-1））/（2m - 1）！）+（（-1）^（m））*（cos（θx）*（x^（2m+1））/（2m + 1）！）
cos（x）= 1 - x^2 / + x^4 / +…+（（-1）^（m））*（（x^（2m））/（2m）！）+（（-1）^（m+1））*（cos（θx）*（x^（2m+2））/（2m + 2）！）
根據泰勒公式定義
若函數f在[a，b]上存在直至n階的連續導函數，在（a，b）記憶體在n+1階導函數，則對任意給定的x，x0∈[a，b]，至少存在一點ξ∈[a，b]使得公式成立
那麼定義中提到的是f存在n+1階導數但沒有提到存在n+2階導數
那麼COS的餘項中cos的n+1階級導數應為0，而上面公式裏寫的是
cos的n+2階導數項為什麼能這樣寫

因為cos任意階可導

sinx展開麥克勞林級數，結果是sin（x+nπ/2）

令y=sinx
y '=cosx=sin（x+π/2）
y ''=（sin（x+π/2））'=cos（x+π/2）=sin（x+π）
y'''=（sin（x+π））'=cos（x+π）=sin（x+3π/2）
以此類推
y的n階導數為sin（x+nπ/2）