1）證明如果a整除b×c，且a，b互質，那麼a整除c（abc均是整數）.如果該定理是錯誤的，舉出例子並將其修改，並證明修改後的定理. 2）證明如果a，b均為正整數，如果a>b，那麼a的平方>b的平方；反之亦然.

1）證明如果a整除b×c，且a，b互質，那麼a整除c（abc均是整數）.如果該定理是錯誤的，舉出例子並將其修改，並證明修改後的定理. 2）證明如果a，b均為正整數，如果a>b，那麼a的平方>b的平方；反之亦然.

證明：
（1）∵a|bc∴不妨設bc=ka，k∈Z
又設b的質因數分解為
b=p1^x1×p2^x2×……×pr^xr
（這裡的1,2，……，r都是下標，^x1代表x1次方，且p1、p2等都是質數，下同）
a=q1^y1×q2^y2×……×qs^ys
因為（a，b）=1，所以
{p1，p2，p3，……，pr}∩{q1，q2，q3，……，qs} =空集
由質因數分解唯一定理知，既然a的質因數都不在b中，則必定全在c中，故此有
a | c，證畢.
（2）∵a，b都是正數且a>b
∴|a| > |b|
∴|a|×|a| > |a|×|b| > |b|×|b|，即
|a|²；> |b|²；，證畢.

如果m，n，n+1（m，n為正整數）能組成勾股數，求m與n的關係

答：
①若以n+1為斜邊，則：
m²；+n²；=（n+1）²；，化簡得：m=√（2n+1）
②若以m為斜邊，則：
n²；+（n+1）²；=m²；，化簡得：m=√（2n²；+2n+1）

一個三位數m，一個四位數n，用m，n的代數式表示把m放在n的左邊所組成的七位數？
把m放在n右邊所組成的七位數是？

m放在左邊，後面多了4個數，相當於擴大了10000倍
所以這個七位數為：
10000m+n
同樣n放左右的話，相當於擴大了1000倍
1000n+m