如果f（x）為偶函數，且f'（0）存在，證明f'（0）=0

如果f（x）為偶函數，且f'（0）存在，證明f'（0）=0

若f（x）為偶函數，則f（-x）=f（x），=>當X趨於0時，f（0）'的定義f（0）'=[f（x）-f（0）]/x而，f'=[f（-x）-f（0）]/（-x）=-[f（x）-f（0）]/x所以，f（0）'=[f（x）-f（0）]/x=-[（f（x）-f（0）/x]=0上式中用了，若A=-A，則A=0

如果f（x）為偶函數.且f `（0）存在，證明f `（0）= 0 如果f（x）為偶函數，且f'（x）存在.證明：f'（0）=0. 是不是要用到偶函數的導數是奇函數的定理啊？ f（-x）=f（x） 若f'（x）存在，對上面的等式兩邊求導得 [f（-x）]'=f'（x） 這個東西我可以理解成函數的相等他們的導數也相等嗎？ 我看的同濟第五版的書是證明f0=0不是fx=0 =-lim[f（-x）-f（0）]/（-x） 這個怎麼來的？

如果f（x）為偶函數.且f `（0）存在，
f'（0）=lim[f（x）-f（0）]/x；（x→0）
=lim[f（-x）-f（0）]/x
=-lim[f（-x）-f（0）]/（-x）
=-f'（0）
f'（0）=0.

已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且滿足f（x+1）=f（x）=3，且當x屬於[0,1]時，f（x）=2-x，則f（-2009.9）= 條件給錯，是f（x+1）+f（x）=3

f（x+1）=f（x）=3，那不是任何x取值都等於3？
嗯…那就對了
f（x+1）=-f（x）+3
因為f（x）=f（（x-1）+1）=-f（x-1）+3
所以右邊-f（x）+3=f（x-1）-3+3=f（x-1）
所以f（x+1）=f（x-1）
也就是說f（x）是以2為週期的函數
然後f（-2009.9）=f（2*（-1005）+0.1）=f（0.1）=2-0.1=1.9

若函數f（x）是定義在R上的偶函數，且滿足f（x+1）+f（x）=3.當x∈[0,1]時，f（x）=2-x則f（-2009.5）=

f（x+1）=3-f（x）=3-（2-x）=1+x；
f（x+2）=3-f（x+1）=3-（1+x）=2-x=f（x）；最小正週期為2的偶函數
f（-2009.5）=f（2009.5）=f（1004*2+1.5）=f（1.5）=3-f（0.5）=3-（2-0.5）=1.5；
f（1.5）由

已知f（x）是定義在R上的偶函數，定義在R上的奇函數g（x）過點（-1，3）且g（x）=f（x-1），則f（2009）+f（2010）=______.

∵函數f（x）是定義在R上的偶函數，故f（-x）=f（x），
定義在R上的奇函數g（x），且g（x）=f（x-1），故有f（x-1）=-f（-x-1）=-f（x+1）=f（x+3），故T=4，
定義在R上的奇函數g（x）過點（-1，3），∴g（-1）=3，g（1）=-3
且g（x）=f（x-1），可得地f（-2）=3
由奇函數的性質知，g（0）=0，故f（-1）=f（1）=0
則f（2009）+f（2010）=f（1）+f（-2）=3
故答案為：3.

已知f（x）是定義在R上的偶函數，定義在R上的奇函數g（x）=f（x-1），則f（2009）+f（2011）的值為（） A. -1 B. 1 C. 0 D.無法計算

∵f（-x-1）=g（-x）=-g（x）=-f（x-1），又f（x）為偶函數
∴f（x+1）=f[-（x+1）]=f（-x-1），於是f（x+1）=-f（x-1）
∴f（x+1）+f（x-1）=0.
∴f（2009）+f（2011）=f（2010-1）+f（2010+1）=0
故選C

已知f（x）是定義在R上的偶函數，對任意的x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立.若f（1）=2，則f（2005）等於多少？

f（x+4）=f（x）+f（2）
令x = -2
f（-2 + 4）= f（-2）+ f（2）
f（2）= f（-2）+ f（2）
f（-2）= 0
f（x）是偶函數，所以
f（2）= f（-2）
因此
f（x+4）= f（x）+ f（2）= f（x）
即f（x）是以4為週期的函數
f（x）= f（x + 4k）
其中k為整數
2005= 4*501 +1
所以
f（2005）= f（1）= 2

y=f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意的實數，都有f（x+1）=f（x-1）成立.當x∈[1.2]時，f（x）=log a x 1.x∈[2k-1,2k+1]k∈z，f（x）的運算式 2.若函數y=f（x）的最大值為1/2，在區間[-1,3]上解關於x的不等式f（x）>1/4

（1）
當x∈[2k－1,2k]時，f（x）＝f（x－2k）＝loga（2＋x－2k）
同理，當x∈（2k，2k＋1]時，f（x）＝f（x－2k）＝loga（2－x＋2k）
∴f（x）＝[分段函數]
{loga（2＋x－2k），x∈[2k－1,2k]
{loga（2－x＋2k），x∈（2k，2k＋1]
（2）
由於函數是以2為週期的週期函數，故只需要考查區間[－1,1]
當a＞1時，由函數f（x）的最大值為1/2，知f（0）＝f（x）max＝loga 2＝1/2，即a＝4
當0＜a＜1時，則當x＝±1時，函數f（x）取最大值為1/2，即loga（2－1）＝1/2，舍去
綜上所述：a＝4
當x∈[－1,1]時，
若x∈[－1,0]，則log4（2＋x）＞1/4
∴√2－2＜x≤0
若x∈（0,1]時，則log4（2－x）＞1/4
∴0＜x＜2－√2
∴此時滿足不等式的解集為（√2－2,2－√2）
∵函數是以2為週期的週期函數
∴在區間[－1,3]上，f（x）＞1/4的解集為（√2,4－√2）
綜上，所得不等式的解集為：（√2－2,2－√2）∪（√2,4－√2）
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函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意實數，都有f（x+1）=f（x-1）成立，已知當x[1,2]時，f（x）=loga（x） （1）求x屬於[-1,1]時，函數f（x）的運算式 （2）求x屬於[2k-1,2k+1]（k屬於Z）時函數f（x）的運算式 （3）若函數f（x）的最大值為1/2，在區間[-1,3]上，解關於x的不等式f（x）>1/4 線上等待感激不盡！

（1）因為f（x）是定義在R上的偶函數，故f（x-1）=f（1-x）=f（x+1），所以f（x）關於x=1對稱，又由上式得f（x）=f（2-x）.因當x[1,2]時，f（x）=loga（x），則f（2-x）=loga（2-x），因為2-x屬於[1,2]，則x屬於[0,1].由f（x）=f（2-x）得f（x）=loga（2…

設F（x）（x是實數）為偶函數，F（x—3/2）=F（X+1/2）恒成立 2〈=X〈=3，F（x）=X，則當-2〈=X〈=0，F（x）=

f（x）偶即f（-x）=f（x）
f（x-3/2）=f（x+1/2）即f（x）=f（x-2）
故f是一個週期為2的偶函數
那麼當-1〈=x〈=0時，2〈=-x+2〈=3，故f（x）=f（-x）=f（-x+2）＝-x+2
當-2