It is proved that the equation x ^ 5 + 5x + 1 = 0 has and only has one real root in the interval (- 1,0)

Let f (x) = x ^ 5 + 5x + 1
Then f '(x) = 5x ^ 4 + 5, the derivative is always greater than 0 on (- 1,0)
So f (x) is strictly increasing, because f (- 1) = - 1 - 5 + 1 = - 5 < 0, f (0) = 1 > 0 and f (x) is continuous on (- 1,0)
According to the mean value theorem, there must be t belonging to (- 1,0) and f (T) = 0. Because it is strictly increasing, this t must be unique

RELATED INFORMATIONS

1. 式ｘ３－３ｘ－ｍ＝０は［０，１］で実数根を持ち、ｍの最大値を求める
2. 既知の関数ｆ（ｘ）＝ｘ２－ａｌｎｘ，ｇ（ｘ）＝ｅ＾ｘ－［ｘ］（１）証明：ｅ＾ａ＞ａ（２）ａ＞２ｅの場合、ｆ（ｘ）を区間（１，ｅ＾ａ）にゼロ点の個数
3. 急教：ｙ＝ｘの正方形＋６ｘ＋１１が知られている，その画像パンベクトル（→ａ），関数ｙ＝ｘの正方形の画像を取得，ベクトルを求める（→ａ）．詳細なプロセスがあります。
4. 関数ｆ（ｘ＋１）の定義ドメインが［０，１］の場合、関数ｆ（３ｘ－１）の定義ドメインは＿＿＿＿＿＿．
5. ２４／（ｘ＋ｙ）＋２４／（ｘ－ｙ）＝７／３，８／（ｘ＋ｙ）＋１８／（ｘ－ｙ）＝４／３
6. Ｘ，Ｙに関する連立方程式Ｘ＋Ｙ＝Ｍ５Ｘ＋３Ｙ＝３１は負ではなく整数Ｍの値を求める。最好讲的清楚些，並請用初二下学期解不等式所學知識來解答～
7. ０，１，２，３，．．９１０の数字は、３つの奇数の数字と２つの偶数の数字を含む５桁の数字で構成されています
8. ０，１，２，３，４，５で重複しない数字を構成する３桁の偶数の数は？このような質問をするためのヒントは何ですか？分析プロセスと言えるでしょうか。
9. これらの最小公倍数は９０であり、どちらも（）Ａ．９と１０Ｂ．２と４５Ｃ．６と１５Ｄ．５と１８
10. 商品の価格は２０％の利益が含まれており、Ｂ商品の価格は４０％の利益が含まれており、２つの商品の価格は４８０元に加算されます。価格はＢよりも高い６０元であり、２つの商品のコストは、それぞれどのように多くの元です
11. 方程式ｘ３－ｘ－１＝０は長さが１の区間（ａ，ｂ）（ａ∈ｚ．，ｂ∈ｚ）上に１つある、ａ＋ｂ＝？
12. 先化簡再因式分解（Ｘのｎ＋２乗＋３ｘのｎ＋１方－６ｘのｎ方）÷３ｘのｎ－１方
13. 実数範囲で２ｘの平方－４ｘｙ－５ｙの平方を分解する
14. ｘ＾３＋５ｘ＾２－１８「添加分解法」
15. ｆ（ｘ）は関数であり、４ｆ（１－ｘ）－２ｆ（ｘ－１）＝３ｘ＋１８であることが知られています。（１）ｆ（ｘ）が［－１，１］の最大値を求め、ｆ（２００７）とｆ（２００８）のサイズを比較する（２）ｆ（ｘ）の解析式を求めずに問題を解決できるかどうか（１）（３）ｆ（ｘ）を一次関数とする条件を取り除く。
16. ５．４、３の二桁と三桁の間で構成され、同時に３、５の数は何ですか？
17. ５桁の数字は、各桁の数字が互いに異なっている、それは３，５，７，１１によって除算することができ、そのような数の最大数は何ですか？
18. ２つの初期運動能力が等しい物体ａとｂは、現在、恒力Ｆ１とＦ２はそれぞれａとｂに作用し、同時に停止し、Ｆ１とＦ２の大きさを比較する。
19. 既知力Ｆ１，Ｆ２，Ｆ３満足｜Ｆ１｜＝｜Ｆ２｜＝｜Ｆ３｜＝１，且Ｆ１＋Ｆ２＋Ｆ３＝０，則｜Ｆ１－Ｆ２｜為平面ベクトルの問題
20. Ｆ１、Ｆ２は双曲線ｘ＾２／１６－ｙ＾２／９＝１の２つの焦点であり、Ｐは双曲線上の点であり、Ｆ１、Ｆ２は双曲線ｘ＾２／１６－ｙ＾２／９＝１の２つの焦点であることが知られており、Ｐは双曲線上の点であり、ＰＦ１ＰＦ２がある。