三角形の正余弦定理 不等辺△ＡＢＣでは、ａは最大辺、ａ＾２

三角形の正余弦定理 不等辺△ＡＢＣでは、ａは最大辺、ａ＾２

ａ＾２＜ｂ＾２＋ｃ＾２，
ｂ＾２＋ｃ＾２－ａ＾２＞０
だからｃｏｓＡ＝（ｂ＾２＋ｃ＾２－ａ＾２）／２ｂｃ＞０
だからＡ＜９０°
そして、ａは最大のエッジです
だからＡ＞Ｂ、Ａ＞Ｃ
だから２Ａ＞Ｂ＋Ｃ＝１８０°－Ａ
３Ａ＞１８０°
だからＡ＞６０°
だから６０°＜Ａ＜９０°

三角形ＡＢＣでは、ｓｉｎ２Ａ／２＝（ｃ－ｂ）／２ｃ，三角形の形状を判定する．

ｓｉｎ２（Ａ／２）＝（ｃ－ｂ）／（２ｃ）のため
（１－ｃｏｓＡ）／２＝１／２－ｂ／（２ｃ）
ｃｏｓＡ＝ｂ／ｃ
ｂ＝ｃ＊ｃｏｓＡ
は２ｂ２＝２ｂｃｃｏｓＡ
コサインによる理由：ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡ
すなわち２ｂｃｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２
２ｂ２＝ｂ２＋ｃ２－ａ２
はａ２＋ｂ２＝ｃ２
三辺三角形はピタゴラスの定理を満たす
この三角形は直角三角形です

ｃｏｓα＝（ｓｉｎ２γ＋ｓｉｎ２β－ｓｉｎ２α）／２ｓｉｎγ＊ｓｉｎβ

証明：ａ／ｓｉｎＡ＝ｂ／ｓｉｎＢ＝ｃ／ｓｉｎＣ＝ｋ則ａ＝ｋｓｉｎＡ，ｂ＝ｋｓｉｎＢ，ｃ＝ｋｓｉｎＣ，ｃｏｓＡ＝（ｂ＾２＋ｃ＾２－－ａ＾２）／２ｂｃ＝［（ｋｓｉｎＢ）＾２＋（ｋｓｉｎＣ）＾２－－（ｋｓｉｎＡ）＾２］／（２ｋｓｉｎＢｋｓｉｎＣ）＝ｋ＾２［（ｓｉｎＢ）＾２＋（ｓｉｎＣ）＾２－－（ｓｉ．．．

三角形ＡＢＣでは、ＡＢ＝６、角Ａ＝３０度、角Ｂ＝１２０度の面積はコサイン定理である。

Ｃ＝１８０°－３０°－１２０°＝３０°；
ＡＢ＝ＢＣ＝６；
面積＝ＡＢ×ＢＣ×ｓｉｎ１２０°×（１／２）＝６×６×（√３／２）×（１／２）＝９√３；
本題に何かわからなければ、

余弦定理の既知の角で面積を求める 三角形で知られている角Ａは６０度、面積Ｓは？ （ａ，ｂ，ｃで表される）

正弦定理には
Ｓ△＝（１／２）＊ａｂ＊ｓｉｎＣ，
一方、（ｓｉｎＣ）＾２＋（ｃｏｓＣ）＾２＝１，有
ｓｉｎＣ＝√［１－（ｃｏｓＣ）＾２］，
Ｓ△＝（１／２）＊ａｂ＊ｓｉｎＣ＝（１／２）＊ａｂ＊√［１－（ｃｏｓＣ）］＝（√３／４）＊ａｂ．

正弦定理と余弦で理解する：既知の三角形ＡＢＣの，辺ａ＝４，角Ａ＝４５度，角度Ｂ＝６０度，辺ｂと三角形の面積を求める．

正弦定理：ａ／ｓｉｎＡ＝ｂ／ｓｉｎＢ
ｂ＝ａ＊ｓｉｎＢ／ｓｉｎＡ＝４＊√３／２／（√２／２）＝２√６
Ｃ＝７５°
ｓｉｎ（７５°）＝ｓｉｎ（３０°＋４５°）＝ｓｉｎ３０°ｃｏｓ４５°＋ｃｏｓ３０°ｓｉｎ４５°＝（√６＋√２）／４
Ｓ＝１／２＊ａ＊ｂ＊ｓｉｎＣ
＝６＋２√３