중학교 2 학년 수학 하 권 방정식 의 연습 문제.

중학교 2 학년 수학 하 권 방정식 의 연습 문제.

일원 이차 방정식 의 해법
1.지식 요점:
1 원 2 차 방정식 과 1 원 1 차 방정식 은 모두 정식 방정식 으로 중학교 수학의 중점 내용 이자 앞으로 수학 을 공부 할 기반 이다.
기초,학우 들 의 중 시 를 불 러 일 으 켜 야 한다.
1 원 2 차 방정식 의 일반적인 형식 은 ax2+bx+c=0,(a≠0)이 고 하나의 미지수 만 포함 하 며 미지수 의 최고 횟수 는 2 이다.
의 정식 방정식.
일원 이차 방정식 을 푸 는 기본 적 인 사상 방법 은'강 차'를 통 해 그것 을 두 개의 일원 일차 방정식 으로 바 꾸 는 것 이다.일원 이차 방정식 은 네 가지 해 가 있다.
법:1.직접 평평 하 게 하 는 방법;2.배합 방법;3.공식 법;4.인수 분해 법.
2.방법,예제 에 대한 설명:
1.직접 평평 하 게 하 는 방법:
직접 평평 하 게 하 는 방법 은 바로 제곱 을 직접 열 어 1 원 2 차 방정식 을 푸 는 방법 이다.직접 평평 하 게 하 는 방법 으로 예 를 들 어(x-m)2=n(n≥0)의 해 형 을 푸 는 것 이다.
방정식,그 해 는 x=m±이다.
예 1.방정식 풀이(1)(3x+1)2=7(2)9x2-24x+16=11
분석:(1)이 방정식 은 분명히 직접 평평 하 게 하 는 방법 으로 하기 쉽다.(2)방정식 왼쪽 은 완전 평평 한 방식(3x-4)2,오른쪽=11>0 이기 때문에
이 방정식 도 직접 평평 하 게 푸 는 방법 으로 풀 수 있다.
（1）(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
*8756°3x+1=±(풀 리 지 않도록 주의)
∴x=
*8756 원 방정식 의 해 는 x1=,x2=이다.
（2） 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
*8756 원 방정식 의 해 는 x1=,x2=이다.
2.배합 방법:배합 법 으로 방정식 ax2+bx+c=0(a≠0)을 풀다.
먼저 상수 c 를 방정식 오른쪽으로 이동:ax2+bx=-c
2 차 항 계 수 를 1:x2+x=-
방정식 양쪽 에 각각 1 차 항 계수 의 절반 을 더 한 제곱:x2+x+()2=-+()2
방정식 왼쪽 은 완전 평면 방식 이 됩 니 다.(x+)2=
b2-4ac≥0 시 x+=±
∴x=(이것 이 바로 구 근 공식)
예 2.배합 법 으로 방정식 3x2-4x-2=0 을 풀다.
상수 항 을 방정식 오른쪽 3x2-4x=2 로 옮기다
2 차 항 계 수 를 1:x2-x=로 변경 합 니 다.
방정식 양쪽 에 1 차 항 계수 의 절반 을 더 한 제곱:x2-x+()2=+()2
도안:(x-)2=
직접 제곱:x-=±
∴x=
*8756 원 방정식 의 해 는 x1=,x2=이다.
3.공식 법:1 원 2 차 방정식 을 일반 형식 으로 바 꾼 다음 에 판별 식△=b2-4ac 의 값 을 계산 하고 b2-4ac≥0 일 때 각 항목 을 계산한다.
계수 a,b,c 의 값 을 구 근 공식 x=(b2-4ac≥0)에 대 입 하면 방정식 의 뿌리 를 얻 을 수 있다.
예 3.공식 법 으로 방정식 2x2-8x=-5
방정식 을 일반 형식 으로:2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
*8756 원 방정식 의 해 는 x1=,x2=이다.
4.인수 분해 법:방정식 을 한쪽 은 0 으로 변형 시 키 고 다른 쪽 의 2 차 3 항 식 을 두 개의 1 차 인수 적 형식 으로 분해 하여
두 개의 1 차 인수 식 은 각각 0 과 같 고,두 개의 1 원 1 차 방정식 을 얻 으 며,이 두 개의 1 원 1 차 방정식 을 풀 고 얻 은 뿌리 는 바로 원 방정식 의 두 개 이다.
뿌리.이런 1 원 2 차 방정식 을 푸 는 방법 을 인수 분해 법 이 라 고 한다.
예 4.인수 분해 법 으로 다음 방정식 을 풀다.
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3)6x2+5x-50=0(선택)(4)x2-2(+)x+4=0(선택)
(1)(x+3)(x-6)=-8 화 간소화
x2-3x-10=0(방정식 왼쪽 은 2 차 3 항 식 이 고 오른쪽 은 0)
(x-5)(x+2)=0(방정식 왼쪽 분해 인수)
*8756 x-5=0 또는 x+2=0(두 개의 1 원 1 차 방정식 으로 전환)
*8756°x1=5,x2=-2 는 원 방정식 의 풀이 이다.
(2)2x2+3x=0
x(2x+3)=0(제 공인 식 법 으로 방정식 왼쪽 을 인수 식 으로 분해)
*8756°x=0 또는 2x+3=0(두 개의 1 원 1 차 방정식 으로 전환)
*8756°x1=0,x2=-원 방정식 의 풀이 입 니 다.
주의:어떤 학우 들 은 이런 문 제 를 풀 때 x=0 이라는 해 를 잃 어 버 리 기 쉬 우 니 1 원 2 차 방정식 에 두 개의 해 가 있다 는 것 을 기억 해 야 한다.
(3)6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0(십자 상승 분해 인식 시 기호 가 틀 리 지 않도록 각별히 주의해 야 한다)
*8756°2x-5=0 또는 3x+10=0
*8756°x1=,x2=-원 방정식 의 풀이 입 니 다.
(4)x2-2(+)x+4=0(8757°4 는 2&\#8226 로 분해 할 수 있 습 니 다.2.8756.이 문 제 는 인수 분해 법 으로 사용 할 수 있 습 니 다)
(x-2)(x-2 )=0
*8756°x1=2,x2=2 는 원 방정식 의 해 이다.
소결:
일반적으로 1 원 2 차 방정식 을 풀 때 가장 자주 사용 하 는 방법 은 역시 인수 분해 법 이다.인수 분해 법 을 응용 할 때 일반적으로 먼저 방정식 을 일반 으로 써 야 한다.
형식 은 동시에 2 차 항 계 수 를 정수 로 해 야 한다.
직접 평평 하 게 하 는 방법 이 가장 기본 적 인 방법 이다.
공식 법 과 배합 방법 은 가장 중요 한 방법 이다.공식 법 은 그 어떠한 1 원 2 차 방정식 에 도 적용 되 고 공식 을 사용 하고 있다.
법 시 에는 반드시 원 방정식 을 일반 형식 으로 바 꾸 어 계 수 를 확정 하고 공식 을 사용 하기 전에 먼저 판별 식 의 값 을 계산 하여 방정식 을 판단 해 야 한다.
해 가 있 는 지 없 는 지.
배합 방법 은 공식 을 유도 하 는 도구 로 공식 법 을 파악 한 후에 직접 공식 법 으로 1 원 2 차 방정식 을 풀 수 있 기 때문에 일반적으로 배합 방법 을 사용 하지 않 는 다.
1 원 2 차 방정식 을 풀다.그러나 배합 방법 은 다른 수학 지식 을 공부 할 때 광범 위 하 게 응용 되 고 중학교 에서 요구 하 는 세 가지 중요 한 수학 방법 이다.
법 중 하 나 는 반드시 잘 파악 해 야 한다.
예 5.적당 한 방법 으로 다음 방정식 을 풀다.(선택 학)
（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0
（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
분석:(1)먼저 문제 가 특징 이 있 는 지 없 는 지 를 관찰 해 야 한다.맹목적 으로 곱셈 연산 을 해 서 는 안 된다.관찰 한 결과 방정식 왼쪽 은 제곱 차 를 사용 할 수 있다.
공식 은 인수 식 을 분해 하여 두 개의 일차 인수 식 의 곱셈 으로 변 한다.
(2)십자 곱셈 으로 방정식 의 왼쪽 인식 을 분해 할 수 있다.
(3)일반 형식 으로 변 한 후 공식 법 으로 푼다.
(4)방정식 을 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 으로 변형 시 킨 다음 십자 곱셈 식 으로 분해 할 수 있다.
（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0 또는-x+13=0
∴x1=1,x2=13
（2） x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0 또는 x-1=0
∴x1=-3,x2=1
（3）x2-2 x=-
x2-2 x+=0(먼저 일반 형식 으로)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
（4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0 또는 2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
예 6.방정식 3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0 의 두 뿌리 를 구하 라.(선택 학)
분석:이 방정식 을 먼저 곱셈,곱셈,같은 항목 을 합 쳐 일반 형식 으로 바 꾼 후에 하면 비교적 번 거 로 울 것 이다.문 제 를 자세히 살 펴 보면 나 는
만약 에 x+1 과 x-4 를 각각 하나의 전체 로 간주한다 면 방정식 왼쪽 은 십자 곱셈 으로 인식 을 분해 할 수 있다 는 것 을 발견 했다.
법)
[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
즉(5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
*8756°x-1=0 또는 2x-3=0
*8756°x1=1,x2=은 원 방정식 의 풀이 이다.
예 7.배합 법 으로 x 에 관 한 1 원 2 차 방정식 x2+px+q=0 을 풀다.
x2+px+q=0 으로 변형 가능
x2+px=-q(상수 항 을 방정식 오른쪽으로 이동)
x2+px+()2=-q+()2(방정식 양쪽 에 1 차 항 계수 의 절반 을 더 한 제곱)
(x+)2=(레 시 피)
p2-4q≥0 시≥0(p2-4q 에 대해 분류 토론 을 해 야 함)
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
p2-4q