初二數學下册方程的練習題

初二數學下册方程的練習題

一元二次方程的解法
一、知識要點：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中數學的一個重點內容，也是今後學習數學的基
礎，應引起同學們的重視.
一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c=0，（a≠0），它是只含一個未知數，並且未知數的最高次數是2
的整式方程.
解一元二次方程的基本思想方法是通過“降次”將它化為兩個一元一次方程.一元二次方程有四種解
法：1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法.
二、方法、例題精講：
1、直接開平方法：
直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法.用直接開平方法解形如（x-m）2=n（n≥0）的
方程，其解為x=m±.
例1.解方程（1）（3x+1）2=7（2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程顯然用直接開平方法好做，（2）方程左邊是完全平管道（3x-4）2，右邊=11>0，所以
此方程也可用直接開平方法解.
（1）（3x+1）2=7×
∴（3x+1）2=5
∴3x+1=±（注意不要丟解）
∴x=
∴原方程的解為x1=，x2=
（2）9x2-24x+16=11
∴（3x-4）2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解為x1=，x2=
2.配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0（a≠0）
先將常數c移到方程右邊：ax2+bx=-c
將二次項係數化為1:x2+x=-
方程兩邊分別加上一次項係數的一半的平方：x2+x+（）2=- +（）2
方程左邊成為一個完全平管道：（x+）2=
當b2-4ac≥0時，x+ =±
∴x=（這就是求根公式）
例2.用配方法解方程3x2-4x-2=0
將常數項移到方程右邊3x2-4x=2
將二次項係數化為1:x2-x=
方程兩邊都加上一次項係數一半的平方：x2-x+（）2= +（）2
配方：（x-）2=
直接開平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解為x1=，x2= .
3.公式法：把一元二次方程化成一般形式，然後計算判別式△=b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，把各項
係數a，b，c的值代入求根公式x=（b2-4ac≥0）就可得到方程的根.
例3.用公式法解方程2x2-8x=-5
將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0
∴a=2，b=-8，c=5
b2-4ac=（-8）2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解為x1=，x2= .
4.因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓
兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個
根.這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
例4.用因式分解法解下列方程：
（1）（x+3）（x-6）=-8（2）2x2+3x=0
（3）6x2+5x-50=0（選學）（4）x2-2（+）x+4=0（選學）
（1）（x+3）（x-6）=-8化簡整理得
x2-3x-10=0（方程左邊為二次三項式，右邊為零）
（x-5）（x+2）=0（方程左邊分解因式）
∴x-5=0或x+2=0（轉化成兩個一元一次方程）
∴x1=5，x2=-2是原方程的解.
（2）2x2+3x=0
x（2x+3）=0（用提公因式法將方程左邊分解因式）
∴x=0或2x+3=0（轉化成兩個一元一次方程）
∴x1=0，x2=-是原方程的解.
注意：有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解，應記住一元二次方程有兩個解.
（3）6x2+5x-50=0
（2x-5）（3x+10）=0（十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯）
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=，x2=-是原方程的解.
（4）x2-2（+）x+4 =0（∵4可分解為2 •；2，∴此題可用因式分解法）
（x-2）（x-2）=0
∴x1=2，x2=2是原方程的解.
小結：
一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般
形式，同時應使二次項係數化為正數.
直接開平方法是最基本的方法.
公式法和配方法是最重要的方法.公式法適用於任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式
法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定係數，而且在用公式前應先計算判別式的值，以便判斷方程
是否有解.
配方法是推導公式的工具，掌握公式法後就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
解一元二次方程.但是，配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用，是國中要求掌握的三種重要的數學方
法之一，一定要掌握好.（三種重要的數學方法：換元法，配方法，待定係數法）.
例5.用適當的方法解下列方程.（選學）
（1）4（x+2）2-9（x-3）2=0（2）x2+（2-）x+ -3=0
（3）x2-2 x=-（4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析：（1）首先應觀察題目有無特點，不要盲目地先做乘法運算.觀察後發現，方程左邊可用平方差
公式分解因式，化成兩個一次因式的乘積.
（2）可用十字相乘法將方程左邊因式分解.
（3）化成一般形式後利用公式法解.
（4）把方程變形為4x2-2（2m+5）x+（m+2）（m+3）=0，然後可利用十字相乘法因式分解.
（1）4（x+2）2-9（x-3）2=0
[2（x+2）+3（x-3）][2（x+2）-3（x-3）]=0
（5x-5）（-x+13）=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1，x2=13
（2）x2+（2-）x+ -3=0
[x-（-3）]（x-1）=0
x-（-3）=0或x-1=0
∴x1=-3，x2=1
（3）x2-2 x=-
x2-2 x+ =0（先化成一般形式）
△=（-2）2-4×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=，x2=
（4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2（2m+5）x+（m+2）（m+3）=0
[2x-（m+2）][2x-（m+3）]=0
2x-（m+2）=0或2x-（m+3）=0
∴x1=，x2=
例6.求方程3（x+1）2+5（x+1）（x-4）+2（x-4）2=0的二根.（選學）
分析：此方程如果先做乘方，乘法，合併同類項化成一般形式後再做將會比較繁瑣，仔細觀察題目，我
們發現如果把x+1和x-4分別看作一個整體，則方程左邊可用十字相乘法分解因式（實際上是運用換元的方
法）
[3（x+1）+2（x-4）][（x+1）+（x-4）]=0
即（5x-5）（2x-3）=0
∴5（x-1）（2x-3）=0
（x-1）（2x-3）=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1，x2=是原方程的解.
例7.用配方法解關於x的一元二次方程x2+px+q=0
x2+px+q=0可變形為
x2+px=-q（常數項移到方程右邊）
x2+px+（）2=-q+（）2（方程兩邊都加上一次項係數一半的平方）
（x+）2=（配方）
當p2-4q≥0時，≥0（必須對p2-4q進行分類討論）
∴x=-±=
∴x1=，x2=
當p2-4q