수학 문제 입 니 다. 3Q ~ \ (≥) / ~ 한 권 의 책 은 모두 400 페이지 로 되 어 있 으 며, 1, 2, 3, 4, 398, 399 페이지 로 되 어 있 으 며, 숫자 '5' 가 페이지 번호 중 몇 개 냐 고 물 었 다.

수학 문제 입 니 다. 3Q ~ \ (≥) / ~ 한 권 의 책 은 모두 400 페이지 로 되 어 있 으 며, 1, 2, 3, 4, 398, 399 페이지 로 되 어 있 으 며, 숫자 '5' 가 페이지 번호 중 몇 개 냐 고 물 었 다.

1 ~ 99 에 19 개. '5'.
100 ～ 199 안에 19 개의 '5' 가 있다
300 ~ 400 에 19 개. '5'.
19 + 19 + 19 = 54 개 "5"

모든 질량 수 p 을 구하 여 (2 ^ (p - 1) - 1 곶 / p 는 완전 제곱 수 이다.

먼저 어떤 양의 정수 n, 2 ^ n - 1 또는 2 ^ n + 1 이 완전한 제곱 수 인지 고려 합 니 다.
(1) 전자 에 대하 여 n = 1 시, 2 ^ n - 1 = 1 은 완전 제곱 수 이다.
n ≥ 2 시, 2 ^ n - 1 8801 의 3 (mod 4) 이 므 로 완전 제곱 수 일 수 없다.
(2) 후자 에 대해 정수 x 만족 x ^ 2 = 2 ^ n + 1 이 설치 되 어 있 으 면 2 ^ n = x ^ 2 - 1 = (x + 1) (x - 1).
x + 1 과 x - 1 중 하 나 는 4 로 나 누 지 않 기 때문에 다른 하 나 는 반드시 2 ^ (n - 1) 로 나 누 어야 합 니 다.
이 로 인해 x ≥ 2 ^ (n - 1) - 1, 2 ^ n = x ^ 2 - 1 ≥ (2 ^ (n - 1) - 2) · 2 ^ (n - 1).
화 간 득 2 ^ (n - 1) ≤ 4, 그러므로 n ≤ 3.
n = 1, 2, 3 에 대해 각각 검 증 된 것 은 n = 3 시 2 ^ n + 1 = 9 가 완전 제곱 수 입 니 다.
본론 으로 돌아가다.
대 질량 p > 2, p = 2k + 1, k 를 정수 로 설정 할 수 있 습 니 다.
그리하여 (2 ^ (p - 1) / p = (2 ^ (2k) - 1) / p = (2 ^ k - 1) (2 ^ k - 1) (2 ^ k + 1) / p.
주의해 야 할 것 은 (2 ^ k - 1, 2 ^ k + 1) = (2 ^ k - 1, 2) = 1, 즉 2 ^ k + 1 과 2 ^ k - 1 의 상호작용 이다.
질 수 p | (2 ^ k - 1) (2 ^ k + 1) 때문에 p 는 2 자 중 하 나 를 제거한다.
(1) 약 p | 2 ^ k - 1, 즉 (2 ^ k - 1) / p 는 정수 이다.
한편, 2 ^ k + 1 과 (2 ^ k - 1) / p 도 서로 질 적 이 고,
다른 한편, 두 사람의 곱 하기 는 완전 제곱 수 이다.
이것 은 둘 다 완전 제곱 수 라 는 것 을 설명 한다.
증 명 된 것 은 k = 3 시, 2 ^ k + 1 은 완전 제곱 수 입 니 다.
대응 p = 7 검증 가능 요구 충족.
(2) 만약 p | 2 ^ k + 1, 즉 (2 ^ k + 1) / p 는 정수 이다.
마찬가지 로 2 ^ k - 1 과 (2 ^ k + 1) / p 의 상호작용 이 있 고 2 자 곱 하기 가 완전 제곱 수 입 니 다.
둘 다 완전 제곱 수 를 얻 을 수 있다.
증 명 된 것 은 k = 1 시, 2 ^ k - 1 은 완전 제곱 수 입 니 다.
대응 p = 3 검증 가능 요구 충족.
다시 말하자면, 요 구 를 만족 시 키 는 질량 p 는 3 과 7 에 불과 하 다.