這是一道數學題，3Q~\（≥▽≤）/~ 一本書共400頁，編上頁碼：1、2、3、4.398、399，問數位“5”在頁碼中有多少個？

這是一道數學題，3Q~\（≥▽≤）/~ 一本書共400頁，編上頁碼：1、2、3、4.398、399，問數位“5”在頁碼中有多少個？

1～99內有19個”5”
100～199內有19個”5”
300～400內有19個”5”
19+19+19=54個“5”

求所有質數p使得｛2^（p-1）-1｝/p是一個完全平方數.

先考慮對哪些正整數n，2^n-1或2^n+1是完全平方數.
（1）對於前者，n = 1時，2^n-1 = 1是完全平方數.
n≥2時，2^n-1≡3（mod 4），囙此不可能是完全平方數.
（2）對於後者，設有正整數x滿足x^2 = 2^n+1，則2^n = x^2-1 =（x+1）（x-1）.
因為x+1與x-1中至少有一個不被4整除，所以另一個必須被2^（n-1）整除.
由此可得x≥2^（n-1）-1,2^n = x^2-1≥（2^（n-1）-2）·2^（n-1）.
化簡得2^（n-1）≤4，囙此n≤3.
對n = 1,2,3分別驗證知，只有n = 3時2^n+1 = 9為完全平方數.
回到原題.
對質數p > 2，可設p = 2k+1，k為正整數.
於是（2^（p-1）-1）/p =（2^（2k）-1）/p =（2^k-1）（2^k+1）/p.
注意有（2^k-1,2^k+1）=（2^k-1,2）= 1，即2^k+1與2^k-1互質.
質數p |（2^k-1）（2^k+1），囙此p整除二者之一.
（1）若p | 2^k-1，即（2^k-1）/p為整數.
一方面，2^k+1與（2^k-1）/p也是互質的，
另一方面，二者的乘積是完全平方數.
這說明二者都是完全平方數.
已證僅當k = 3時，2^k+1是完全平方數.
對應p = 7可驗證滿足要求.
（2）若p | 2^k+1，即（2^k+1）/p為整數.
同樣由2^k-1與（2^k+1）/p互質，且二者乘積為完全平方數，
可得二者都是完全平方數.
已證僅當k = 1時，2^k-1是完全平方數.
對應p = 3可驗證滿足要求.
綜上，滿足要求的質數p僅有3和7.