토끼 수열 이 뭔 지 아 시 는 분?

토끼 수열 이 뭔 지 아 시 는 분?

[토끼 수열]
　　
즉,피 보 나치 수열,'피 보 나치 수열'의 발명 자 는 이탈리아 수학자 레오 나르도 피 보 나치(Leonardo Fibonacci,서기 1170 년 에 태 어 나 1240 년 에 죽 었 다.본적 은 피자)이다.그 는'피자 의 레오 나르도'라 고 불 린 다.
피 보 나치 수열 은 0,1,1,2,3,5,8,13,21...
이 수열 은 세 번 째 항 에서 시작 하여 모든 항 은 앞의 두 항의 합 과 같다.그것 의 통항 공식 은 다음 과 같다.
(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}[√5 는 근호 5 를 나타 낸다]
재 미 있 는 것 은 이런 것 은 완전히 자연수 의 수열 인 데 통 항 공식 은 뜻밖에도 무리수 로 표현 한 것 이다.
[이 수열 에는 기묘 한 속성 이 많다.]
예 를 들 어 수열 의 수가 증가 함 에 따라 앞의 항목 과 뒤의 항목 의 비례 가 황금 분할 에 가 까 워 질 수록 0.6180339887...
또 하나의 성질 이 있다.두 번 째 항목 부터 모든 홀수 항목 의 제곱 은 앞 뒤 두 항목 의 축적 보다 1 이 많 고 모든 짝수 항목 의 제곱 은 앞 뒤 두 항목 의 축적 보다 1 이 적다.
만약 당신 이 이런 문 제 를 보 았 다 면:어떤 사람 이 8*8 의 사각형 을 네 조각 으로 자 르 고 5*13 의 직사각형 으로 맞 추 는 것 을 보고 놀 라 서 물 었 다.왜 64=65?사실은 피 보 나치 수열 의 이 성질 을 이용 했다.5,8,13 은 바로 수열 에서 인접 한 세 가지 이다.사실은 앞 뒤 두 개의 면적 이 1 차이 가 나 지만 뒤에 있 는 그림 에 가 늘 고 긴 틈 이 있어 일반인 들 이 쉽게 알 아차 리 지 못 한다.
만약 에 두 개의 수 를 시작 으로 한다 면 예 를 들 어 5,-2.4,그 다음 에 두 개의 두 개의 땅 을 더 하면 5,-2.4,2.6,0.2,2.8,3,5.8,8.8,14.6 등 이 형성 된다.수열 의 발전 에 따라 앞 뒤 두 가지 비례 도 금 분할 에 점점 가 까 워 지고 특정한 항목 의 제곱 과 앞 뒤 두 가지 축적 의 차이 도 특정한 가치 와 교체 되 는 것 을 발견 할 수 있 을 것 이다.
피 보 나치 수열 의 n 항 은 집합{1,2,...,n}에 인접 한 정수 가 포함 되 지 않 은 모든 부분 집합 개 수 를 대표 합 니 다.
[피 보 나치 수열 별명]
피 보 나치 수열 은 수학자 레오 나르도 피 보 나치 가 토끼 번식 을 예 로 들 어 도 입 했 기 때문에'토끼 수열'이 라 고도 부른다.
피 보 나치 수열
일반적으로 토끼 는 태 어 난 지 두 달 이 지나 면 번식 능력 이 있 습 니 다.한 쌍 의 토끼 는 매달 한 쌍 의 토끼 를 낳 을 수 있 습 니 다.만약 모든 토끼 가 죽지 않 는 다 면 1 년 후에 몇 쌍 의 토끼 를 번식 시 킬 수 있 습 니까?
우 리 는 새로 태 어 난 토끼 한 쌍 을 가지 고 분석 해 보 자.
첫 달 토끼 는 번식 능력 이 없어 서 한 쌍 이 었 다.
두 달 후에 토끼 한 쌍 을 낳 은 백성 수 는 모두 두 쌍 이다.
3 개 월 후에 늙 은 토끼 가 또 한 쌍 을 낳 았 습 니 다.토끼 는 아직 번식 능력 이 없 기 때문에 모두 세 쌍 입 니 다.
　　－－－－－－
순서대로 유추 하면 다음 표를 열거 할 수 있다.
경과 일수:0,1,2,34,5,6,7,8,9,10,11,12
토끼 로그 수:1,2,35,8,13,21,34,55,89,144,233
표 에서 숫자 0,1,1,2,3,5,8-－하나의 수열 을 구성 했다.이 수열 은 매우 뚜렷 한 특징 과 관련 이 있다.그것 은 앞 에 인접 한 두 가지 합 으로 뒤의 하 나 를 구성 했다.
이 수열 은 이탈리아 중세 수학자 피 보 나치 가＜주판 전서＞에서 제기 한 것 으로 이 급수 의 통항 공식 은 a(n+2)=an+a(n+1)/의 성질 을 가 진 것 을 제외 하고 통항 공식 은 an=1/√[(1+√5/2)n-(1-√5/2)n](n=1,2,3.)임 을 증명 할 수 있다.
[피 보 나 는 수열 통 항 공식 에 대한 추론]
피 보 나치 수열:0,1,1,2,3,5,8,13,21...
F(n)를 이 수열 의 n 번 째 항목(n*8712°N+)으로 설정 하면 다음 과 같이 쓸 수 있 습 니 다.
　　F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3)
분명히 이것 은 선형 전달 수열 이다.
통항 공식의 유도 방법 1:특징 방정식 이용
선형 푸 시 수열 의 특징 방정식 은 다음 과 같다.
　　X^2=X+1
이해 할 수 있다
　　X1=(1+√5)/2,X2=(1-√5)/2.
F(n)=C1*X1^n+C2*X2^n
　　∵F(1)=F(2)=1
　　∴C1*X1 + C2*X2
　　C1*X1^2 + C2*X2^2
C1=1/√5,C2=-1/√5 로 풀다
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}[√5 는 근호 5]
통항 공식의 유도 방법 2:일반 방법
상수 r,s 설정
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]]
r+s=1,-rs=1
≥3 시,
　　F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
　　F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
　　F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
　　……
　　F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
이상 n-2 식 을 곱 하면:
　　F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
　　∵s=1-r,F(1)=F(2)=1
상단 식 은 간단하게 할 수 있 습 니 다.
　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
그러면:
　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
　　= s^(n-1) +r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
　　= s^(n-1) +r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
　　……
　　= s^(n-1) +r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
　　= s^(n-1) +r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
(이것 은 s^(n-1)을 첫 번 째 항목 으로 하고 r^(n-1)을 마지막 항목 으로 하 며 r/s 를 공차 로 하 는 등비 수열 의 각 항목 의 합)
　　=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
　　=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1,-rs=1 의 해 는 s=(1+√5)/2,r=(1-√5)/2 이다.
예 F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}
　　
피 보 나치 수열(f(n),f(0)=0,f(1)=1,f(2)=1,f(3)=2...)의 기타 성질:
　　1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1
　　2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)-1
　　3.f(0)+f(2)+f(4)+…+f(2n)=f(2n+1)-1
　　4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)
　　5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1
　　6.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)
　　7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)
　　8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2
양 휘 삼각형 에 피 보 나치 수열 이 숨 어 있어 요.
　　1
　　1 1
　　1 2 1
　　1 3 3 1
　　1 4 6 4 1
　　……
첫 줄 을 넘 은'1'은 왼쪽 아래 에 45 도 사선 을 만 들 고 그 다음 에 직선 평행선 을 만 들 며 각 직선 이 지나 간 수 를 합치 면 1,1,2,3,5,8......................................................
　　
(1)아래 의 각종 꽃 을 자세히 살 펴 보면 그들의 꽃잎 수 는 피 보 나치 수 를 가진다.연령초,들장미,남미 혈 근 초,코스모스,금봉 화,파종기,백합 화,나비 꽃 이다.
(2)다음 꽃의 유사 한 꽃잎 부분 을 살 펴 보면 피 보 나치 수도 있다.자 완,코스모스,데이지.
피 보 나 계 수 는 항상 꽃잎 수 와 결합 한다.
백합 과 나비꽃
파종기,금 봉화,제비 풀
물총새 꽃
금잔초
자 완 아
데이지
(3)피 보 나 계 수 는 식물의 잎,가지,줄기 등 배열 에서 도 발견 할 수 있다.
예 를 들 어 나무의 줄기 에 잎 을 골 라 서 0 으로 기록 한 다음 에 순서대로 잎 을 세 어(꺾 이지 않 았 다 고 가정)그 잎 과 맞 는 위치 에 도착 할 때 까지그 사이 의 잎 수 는 대부분 피 보 나 계 수 였 다.잎 은 한 위치 에서 다음 의 정확 한 위치 에 이 르 는 것 을 순 회 라 고 한다.잎 이 한 번 에 회전 하 는 원 수 는 피 보 나 계 수 였 다.한 번 에 돌아 오 는 잎 수 와 잎 회전 권 수의 비 교 를 엽 서(희 랍 어 에서 유래 한 것,즉 잎의 배열)비 라 고 한다.대부분의 엽 서 비 는 피 보 나 계 수의 비 로 나 타 났 다.
(4)피 보 나치 수열 과 황금 비율
이 어 진 피 보 나치 수의 비례 수열:
이들 이 교차 하거나 금 보다 크 거나 작은 값 이다.이 수열 의 한 계 는 다음 과 같다.이런 관 계 는(특히 자연 현상 에서)어디에서 금 비,금 사각형 또는 등각 나사 가 나타 나 든 그곳 에 도 피 보 나 계 수가 나타 나 고 반대로 도 마찬가지 임 을 암시 한다.
그러나 그것 의 모든 항목 은 정수 이다.그리고 이 수열 에서 서로 인접 한 두 항목 의 비율 은 뒤에 있 을 수록 그 값 은 0.618 에 가깝다.이 수열 은 광범 위 하 게 응용 된다.예 를 들 어 나무의 연간 가지 수 는 피 보 나치 수열 의 규칙 을 따른다.그리고 컴퓨터 과학 의 발전 은 피 보 나치 수열 에 새로운 응용 장 소 를 제공 했다.