Sn 는 수열{an}의 전항 n 과,그리고 sn=2an+n^2-3n-2(n*8712°N*)로 bn=an-2n(n*8712°N*)을 알 고 있 습 니 다. (1)구 증:수열{bn}은 등비 수 예 이다. (2)명령 Cn=1/(bn+1),Tn=C1C2+2CC3+2^2C3c4+...+2^(n-1)CnCn+1,Tn 과 1/6 의 크기 를 비교 해 보 세 요.

Sn 는 수열{an}의 전항 n 과,그리고 sn=2an+n^2-3n-2(n*8712°N*)로 bn=an-2n(n*8712°N*)을 알 고 있 습 니 다. (1)구 증:수열{bn}은 등비 수 예 이다. (2)명령 Cn=1/(bn+1),Tn=C1C2+2CC3+2^2C3c4+...+2^(n-1)CnCn+1,Tn 과 1/6 의 크기 를 비교 해 보 세 요.

(1) Sn=2an+n^2-3n-2 S(n-1)=2a(n-1)+(n-1)^2-3(n-1)-2
Sn-S(n-1)=2an-2a(n-1)+n^2-(n-1)^2-3n+3(n-1)=2an-2a(n-1)+2n-4=an
an=2a(n-1)-2n+4 an-2n=2a(n-1)-4n+4=2a(n-1)-4(n-1)=2[a(n-1)-2(n-1)]
(an-2n)/[a(n-1)-2(n-1)]=2 그래서 수열{bn}은 공비 2 의 등비 수열 이다.
(2)n=1 시 S1=a1=2a1+1-3-2=2a1-4 a1=4 b1=2 bn=2*2^(n-1)=2^n>0
Cn=1/(2^n+1)>0 C(n+1)=1/[2^(n+1)+1]
CnC(n+1)=1/{(2^n+1)[2^(n+1)+1]}=(1/2^n){1/(2^n+1)-1/[2^(n+1)+1]}
2^(n-1)CnC(n+1)=(1/2){1/(2^n+1)-1/[2^(n+1)+1]}
Tn=(1/2){1/3-1/5+1/5-1/9+.+1/(2^n+1)-1/[2^(n+1)+1]}=(1/2){1/3-1/[2^(n+1)+1]}
=1/6-(1/2){1/[2^(n+1)+1]}
n=1 시:a1=S1=2a1+1^2-3*1-2=>a1=4
n>1 시:an=Sn-S(n-1)=(2an+n^2-3n-2)-[2a(n-1)+(n-1)^2-3(n-1)-2]
= 2an - 2a(n-1) + n^2 - (n-1)... 벌리다
n=1 시:a1=S1=2a1+1^2-3*1-2=>a1=4
n>1 시:an=Sn-S(n-1)=(2an+n^2-3n-2)-[2a(n-1)+(n-1)^2-3(n-1)-2]
= 2an - 2a(n-1) + n^2 - (n-1)^2 - 3n + 3(n-1) -2 + 2
= 2an - 2a(n-1) + 2n - 4
=> an = 2an - 2a(n-1) + 2n - 4
an = 2a(n-1) - 2n + 4
bn=an-2n=>an=bn+2n,b1=a1-2=2.n>1 시 대 입 식:
bn + 2n = 2[b(n-1) + 2(n-1)] - 2n + 4
bn=2b(n-1),또 b1=2
=>bn 은 등비 수열 이 고 bn=2^n
(2) Cn=1/(bn+1) => Cn = 1/(1+ 2^n)
2^(n-1)CnC(n+1) = 2^(n-1) / [(1+2^n)(1+2^(n+1))] = 1/2 * [1/(1+2^n) - 1/[1+2^(n+1)]]
=> 2Tn = 1/(1+2^1) - 1/(1+2^2) + 1/(1+2^2) - 1/(1+2^3) + ... + [1/(1+2^n) - 1/[1+2^(n+1)]]
=> 2Tn = 1/3 - 1/[1+2^(n+1)]
=> Tn = 1/6 - 1/2[1+2^(n+1)] < 1/6 걷 어 치우다
n=1 시:a1=S1=2a1+1^2-3*1-2=>a1=4
n>1 시:an=Sn-S(n-1)=(2an+n^2-3n-2)-[2a(n-1)+(n-1)^2-3(n-1)-2]
= 2an - 2a(n-1) + n^2 - (n-1)... 벌리다
n=1 시:a1=S1=2a1+1^2-3*1-2=>a1=4
n>1 시:an=Sn-S(n-1)=(2an+n^2-3n-2)-[2a(n-1)+(n-1)^2-3(n-1)-2]
= 2an - 2a(n-1) + n^2 - (n-1)^2 - 3n + 3(n-1) -2 + 2
= 2an - 2a(n-1) + 2n - 4
=> an = 2an - 2a(n-1) + 2n - 4
an = 2a(n-1) - 2n + 4
bn=an-2n=>an=bn+2n,b1=a1-2=2.n>1 시 대 입 식:
bn + 2n = 2[b(n-1) + 2(n-1)] - 2n + 4
bn=2b(n-1),또 b1=2
=>bn 은 등비 수열 이 고 bn=2^n
(2) Cn=1/(bn+1) => Cn = 1/(1+ 2^n)
2^(n-1)CnC(n+1) = 2^(n-1) / [(1+2^n)(1+2^(n+1))] = 1/2 * [1/(1+2^n) - 1/[1+2^(n+1)]]
=> 2Tn = 1/(1+2^1) - 1/(1+2^2) + 1/(1+2^2) - 1/(1+2^3) + ... + [1/(1+2^n) - 1/[1+2^(n+1)]]
=> 2Tn = 1/3 - 1/[1+2^(n+1)]
=> Tn = 1/6 - 1/2[1+2^(n+1)] < 1/6 걷 어 치우다