타원 C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)의 원심 율 은√6/3 이 고 짧 은 축의 한 점 에서 오른쪽 초점 까지 의 거 리 는√3 이다. 직선 l 과 타원 C 를 A,B 두 점 과 교차 시 키 고 좌표 원점 O 에서 직선 l 까지 의 거 리 는√3/2 이 며△AOB 면적 의 최대 치 를 구한다.

타원 C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)의 원심 율 은√6/3 이 고 짧 은 축의 한 점 에서 오른쪽 초점 까지 의 거 리 는√3 이다. 직선 l 과 타원 C 를 A,B 두 점 과 교차 시 키 고 좌표 원점 O 에서 직선 l 까지 의 거 리 는√3/2 이 며△AOB 면적 의 최대 치 를 구한다.

타원 C:x^2/a^2+y^2/b^2=1 때문에
타원 의 초점 은 X 축 에 있다.
왜냐하면 짧 은 축의 한 점 에서 오른쪽 초점 까지 의 거 리 는√3 이다.
그림 에서 알 수 있 습 니 다:
b^2+c^2=3=a^2
√3
또:원심 율√6/3=c/a
b=1
타원 C:x^2/3+y^2=1
직선 l:y=kx+b 설정
왜냐하면 좌표 원점 O 에서 직선 l 까지 의 거리 d 는√3/2 이다.
점 에서 직선 거리 공식 까지
d=√3/2=|b|/√[k^2+1]
b^2=(3/4)(k^2+1)
왜냐하면 직선 l 과 타원 C 는 A,B 두 점 과 교차 하기 때문이다.
A(x1,y1)B(x2,y2)
직선 과 타원 이 교차 하 는 현 장 공식 으로 얻 을 수 있다.
|AB|
=√[k^2+1]*|x1-x2|
=√[k^2+1]*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
때문에:
타원 C:x^2/3+y^2=1
직선 l:y=kx+b
연립 하면 얻 을 수 있다.
x^2/3+(kx+b)^2=1
[(1+3k^2)/3]x^2+2kbx+b^2-1=0
왜냐하면:A,B 는 그 교점 이기 때문이다.
방정식 의 두 뿌리
웨 다 의 정리 로 얻 은 것 은:
x1+x2=-6kb/(1+3k^2)
x1x2=(9k^2-3)/(12k^2+4)
즉:
|AB|=√[k^2+1]*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√[k^2+1]*√[36k^2b^2/(3k^2+1)^2-(36k^2-12)/(12k^2+4)]
=√[k^2+1]*√{[27k^2(k^2+1)-3(3k^2-1)(3k^2+1)]/(3k^2+1)^2}
=√{[k^2+1]*[27k^2+3]/[(3k^2+1)^2]}
=√{[27k^4+30k^2+3]/[(3k^2+1)^2]}
=√{[3(3k^2+1)^2+4(3k^2+1)-4]/[(3k^2+1)^2]}
=√{3+4/(3k^2+1)-4/[(3k^2+1)^2]}
설정:t=1/(3k^2+1)(t 속(0,1)
즉:
|AB|=√[3+4t-4t^2]
=√[-4(t-1/2)^2+4]
t=1/2 시,|AB|최대 치=2
이때 k=±√3/3
즉:
△AOB 면적 의 최대 치
=(1/2)|AB|최대 치*d
=(1/2)*2*(√3/2)
=√3/2