設f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).(Ⅰ)求g(x)的單調區間和最小值;(Ⅱ)討論g(x)與g(1x)的大小關係;(Ⅲ)求a的取值範圍,使得g(a)-g(x)<1a對任意x>0成立.

設f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).(Ⅰ)求g(x)的單調區間和最小值;(Ⅱ)討論g(x)與g(1x)的大小關係;(Ⅲ)求a的取值範圍,使得g(a)-g(x)<1a對任意x>0成立.

(Ⅰ)由題設知f(x)=lnx,g(x)=lnx+1x,∴g'(x)=x-1x2,令g′(x)=0得x=1,當x∈(0,1)時,g′(x)<0,故(0,1)是g(x)的單調减區間.當x∈(1,+∞)時,g′(x)>0,故(1,+∞)是g(x)的單調遞…