如圖,△ABC中,∠A=90°,∠B的平分線交AC於D,AH、DF都垂直於BC,H、F為垂足,求證:四邊形AEFD為菱形.

如圖,△ABC中,∠A=90°,∠B的平分線交AC於D,AH、DF都垂直於BC,H、F為垂足,求證:四邊形AEFD為菱形.

證明:∵∠B的平分線交AC於D,∴∠ABD=∠DBF,在△ABD和△FBD中,∠ABD=∠DBF∠BAD=∠BFD=90°BD=BD,∴△ABD≌△FBD,∴∠ADE=∠EDF,AD=DF,∵AH⊥BC,DF⊥BC,即AE‖DF,∴∠AED=∠EDF=∠ADE,∴AE=AD又AD=DF,∴AE=DF且AE‖DF,∴四邊形AEFD為平行四邊形,∴EF=AD且AE=AD=DF,∴平行四邊形AEFD中AE=AD=DF=EF,∴AEFD為菱形.