已知∠ACE=∠CDE=90°，點B在CE上，CA=CB=CD，經A、C、D三點的圓交AB於F（如圖）.求證：F為△CDE的內心.

已知∠ACE=∠CDE=90°，點B在CE上，CA=CB=CD，經A、C、D三點的圓交AB於F（如圖）.求證：F為△CDE的內心.

證明：證法1：如圖，連DF，則由已知，∵∠CDF=∠CAB=45°=12∠CDE，∴DF為∠CDE的平分線，連BD、CF，由CD=CB，知∠FBD=∠CBD-45°=∠CDB-45°=∠FDB，得FB=FD，即F到B、D和距離相等，F在線段BD的垂直平分線上，從而也在等腰三角形CBD的頂角平分線上，CF是∠ECD的平分線.∵F是△CDE上兩條角平分線的交點，∴就是△CDE的內心.證法2：同證法1，得出∠CDF=45°=90°-45°=∠FDE之後，由於∠ABC=∠FDE，故有B、E、D、F四點共圓.連EF，在證得∠FBD=∠FDB之後，立即有∠FED=∠FBD=∠FDB=∠FEB，即EF是∠CED的平分線.本來，點E的資訊很少，證EF為角平分線應該是比較難的，但四點共圓把許多已知資訊集中並轉移到E上來了，因而證法2並不比證法1複雜.由這個證明可知，F是△DCB的外心.∠CDF=∠CAB=45°=12∠CDE，知DF是∠CDE的平分線，故F是△CDE的內心.證法3：如圖，只證CF為∠DCE的平分線.由∠AGC=∠GBA+∠GAB=45°+∠2，∠AGC=∠ADC=∠CAD=∠CAB+∠1=45°+∠1得∠1=∠2.從而∠DCF=∠GCF，得CF為∠DCE的平分線.證法4：首先DF是∠CDE的平分線，故△CDE的外心I在直線DF上.現以CA為y軸、CB為x軸建立坐標系，並記CA=CB=CD=d，則直線AB是一次函數y=-x+d①的圖像（如圖）.若記內心I的座標為（x1，y1），則x1+y1=CH+IH=CH+HB=CB=d滿足①，即I在直線AB上，但I在DF上，故I是AB與DF的交點.由交點的唯一性知I就是F，從而證得F為Rt△CDE的內心.還可延長ED交⊙O於P1，而CP為直徑來證.