已知函數f（x）=ln（1+x）-x1+x.（1）求f（x）的極小值；（2）若a、b＞0，求證：lna-lnb≥1-ba.

已知函數f（x）=ln（1+x）-x1+x.（1）求f（x）的極小值；（2）若a、b＞0，求證：lna-lnb≥1-ba.

（1）f′（x）=11+x-1（1+x）2=x（1+x）2，x＞-1當-1＜x＜0時，f′（x）＜0，f（x）在（-1，0）上單調遞減，當x=0時，f′（x）=0，當x＞1時，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上單調遞增，所以x=1是f（x）的極小值點也是最小值點，所以f（x）的極小值=f（0）=0；（2）由（1），f（x）≥f（0）=0，從而ln（1+x）≥x1+x在定義域（-1，+∞）上恒成立.要證lna-lnb≥1-ba成立.即證lnab≥1-ba成立.令1+x=ab，則x1+x=1-1x+1=1-ba，於是lnab≥1-ba，不等式成立.

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