如圖，AB為⊙O的直徑，且弦CD⊥AB於E，過點B的切線與AD的延長線交於點F.（1）若M是AD的中點，連接ME並延長ME交BC於N.求證：MN⊥BC.（2）若cos∠C=45，DF=3，求⊙O的半徑.

如圖，AB為⊙O的直徑，且弦CD⊥AB於E，過點B的切線與AD的延長線交於點F.（1）若M是AD的中點，連接ME並延長ME交BC於N.求證：MN⊥BC.（2）若cos∠C=45，DF=3，求⊙O的半徑.

（1）證明：（方法一）連接AC.∵AB是⊙O的直徑，且AB⊥CD於E，由垂徑定理得，點E是CD的中點；又∵M是AD的中點，∴ME是△DAC的中位線，∴MN‖AC.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°.∴∠MNB=90°，即MN⊥BC；（方法二）∵AB⊥CD，∴∠AED=∠BEC=90°.M是AD的中點，∴ME=AM，即有∠MEA=∠A.∵∠MEA=∠BEN，∠C=∠A，∴∠C=∠BEN.又∵∠C+∠CBE=90°，∴∠CBE+∠BEN=90°，∴∠BNE=90°，即MN⊥BC；（方法三）∵AB⊥CD，∴∠AED=90°.由於M是AD的中點，∴ME=MD，即有∠MED=∠EDM.又∵∠CBE與∠EDA同對AC，∴∠CBE=∠EDA.∵∠MED=∠NEC，∴∠NEC=∠CBE.∵∠C+∠CBE=90°，∴∠NEC+∠C=90°，即有∠CNE=90°，即MN⊥BC.（2）連接BD.∵∠BCD與∠BAF同對BD，∴∠C=∠A，∴cos∠A=cos∠C=45.∵BF是⊙O的切線，∴∠ABF=90°.在Rt△ABF中，cos∠A=ABAF=45，設AB=4x，則AF=5x，由畢氏定理得：BF=3x.∵AB是⊙O的直徑，∴BD⊥AD，∴△ABF∽△BDF，∴BFAF＝DFBF，即3x5x＝33x，x=53.∴直徑AB=4x=4×53＝203，則⊙O的半徑為103.