已知函數f（x）=sinx（x≥0），g（x）=ax（x≥0），其中a為實數. 1.若f（x）≤g（x）恒成立，求實數a的取值範圍. 2.當a=1時，求證：g（x）-f（x）≤（1/6）x³；（x≥0）.

已知函數f（x）=sinx（x≥0），g（x）=ax（x≥0），其中a為實數. 1.若f（x）≤g（x）恒成立，求實數a的取值範圍. 2.當a=1時，求證：g（x）-f（x）≤（1/6）x³；（x≥0）.

（Ⅰ）由題意可得：令h（x）=f（x）-g（x）=sinx-ax（x≥0），
所以h'（x）=cosx-a.
若a≥1，h'（x）=cosx-a≤0，
所以h（x）=sinx-ax在區間（-∞，0]上單調遞減，即h（x）≤h（0）=0，
所以sinx≤ax（x≥0）成立.
若a＜1，存在x0∈（0，π/2），使得cosx0=a，
所以x∈（0，x0），h'（x）=cosx-a＞0，
所以h（x）=sinx-ax在區間（0，x0）上單調遞增，
所以存在x使得h（x）＞h（0）=0，即此時f（x）≤g（x）不恒成立，
所以a＜1不符合題意舍去.
綜上，a≥1.
（Ⅱ）由題意可得：a=1，所以g（x）=x（x≥0），
所以（x）-g（x）=sinx-x（x≥0），
所以原不等式等價於sinx-x-1/6x^3≤0（x≥0），
設H（x）=x-sinx-1/6x^3（x≥0），所以H′（x）=1-cosx-1/2x^2.
令G（x）=1-cosx-1/2x^2，所以G'（x）=sinx-x，
所以G'（x）=sinx-x≤0（x≥0），
所以G（x）=1-cosx-1/2x^2在（0，+∞）上單調遞減，
囙此有：G（x）=1-cosx-1/2x^2≤G（0）=0，
即H′（x）=1-cosx-1/2x^2≤0，
所以H（x）=x-sinx-1/6x^3（x≥0）單調遞減，
所以H（x）=x-sinx-1/6x^3≤H（0）=0，
所以x-sinx-1/6x^3≤0（x≥0）恒成立，即x-sinx≤1/6x^3（x≥0）.