證明平行四邊形對角線的平方和等於它各邊的平方和

證明平行四邊形對角線的平方和等於它各邊的平方和

方法一:利用餘弦定理.
在平行四邊形ABCD中,有:AB=DC、AD=BC、∠A=180°-∠B,∴cosA=-cosB.
由余弦定理,有:
AC^2=AB^2+BC^2-2AB×BC×cosB,······①
BD^2=AD^2+AB^2-2AD×AB×cosA=AD^2+DC^2+2BC×AB×cosA.······②
①+②,得:AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+AD^2+DC^2.
方法二:利用向量點積.
在平行四邊形ABCD中,有:
向量AC=向量AB+向量AD,向量BD=向量BA+向量BC=-向量AB+向量AD.
∴|AC|^2=|AB|^2+|AD|^2+2向量AB·向量AD,······③
 |BD|^2=|AD|^2+|AB|^2-2向量AD·向量AD.······④
③+④,得:|AC|^2+|BD|^2=|AB|^2+|AD|^2+|AD|^2+|AB|^2.
顯然有:AD=BC、AB=DC,∴AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+AD^2+DC^2.
方法三:利用勾股定理.
不失一般性,假設平行四邊形ABCD中,∠A為銳角.
分別過A、B向DC引垂線,垂足分別為E、F.
容易得出:AE=BF、ED=FC,∴EC=ED+DC=FC+DC、DF=DC-FC.
由勾股定理,有:AC^2=AE^2+EC^2、BD^2=BF^2+DF^2,兩式相加,得:
AC^2+BD^2=2BF^2+(FC+DC)^2+(DC-FC)^2=2BF^2+2FC^2+2DC^2.
再由勾股定理,有:BF^2+FC^2=BC^2,∴AC^2+BD^2=2BC^2+2DC^2.
明顯有:AD=BC、AB=DC,
∴AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+AD^2+DC^2.