誰能幫我證明函數的有界性與最大值最小值定理 閉區間上連續函數的性質定理：在閉區間上連續的函數在該區間上有界且一定能取得它的最大值最小值.此定理用圖是很好理解，希望有人能用數學語言給與證明，

誰能幫我證明函數的有界性與最大值最小值定理 閉區間上連續函數的性質定理：在閉區間上連續的函數在該區間上有界且一定能取得它的最大值最小值.此定理用圖是很好理解，希望有人能用數學語言給與證明，

證明極值定理的基本步驟為：
1.證明有界性定理.
2.尋找一個序列，它的像收斂於f的最小上界.
3.證明存在一個子序列，它收斂於定義域內的一個點.
4.用連續性來證明子序列的像收斂於最小上界.
有界性定理的證明
假設函數f在區間[a，b]內沒有上界.那麼，根據實數的阿基米德原理，對於每一個自然數n，都存在[a，b]內的一個xn，使得f（xn）> n.這便定義了一個序列{xn}.由於[a，b]是有界的，根據波爾查諾-魏爾施特拉斯定理，可推出存在{xn}的一個收斂的子序列{x_{n_k}}.把它的極限記為x.由於[a，b]是閉區間，它一定含有x.因為f在x處連續，我們知道{f（x_{n_k}）}收斂於實數f（x）.但對於所有的k，都有f（x_{n_k}）> nk≥k，這意味著{f（x_{n_k}）}發散於無窮大.得出衝突.囙此，f在[a，b]內有上界.證畢.
極值定理的證明
我們現在證明函數f在區間[a，b]內有最大值.根據有界性定理，f有上界，囙此，根據實數的戴德金完備性，f的最小上界M存在.我們需要尋找[a，b]內的一個d，使得M = f（d）.設n為一個自然數.由於M是最小上界，M–1/n就不是f的最小上界.囙此，存在[a，b]內的dn，使得M–1/n < f（dn）.這便定義了一個序列{dn}.由於M是f的一個上界，我們便有M–1/n < f（dn）≤M，對於所有的n.囙此，序列{f（dn）}收斂於M.
根據波爾查諾-魏爾施特拉斯定理，可知存在一個子序列{d_{n_k}}，它收斂於某個d，且由於[a，b]是閉區間，d位於[a，b]內.因為f在d處連續，所以序列{f（d_{n_k}）}收斂於f（d）.但{f（d_{n_k}）}是{f（dn）}的一個子序列，收斂於M，囙此M = f（d）.所以，f在d處取得最小上界M.證畢.