已知如圖，正方形ABCD中，E為DC上一點，連接BE，作CF⊥BE於P交AD於F點，若恰好使得AP=AB.求證：E為DC中點.

已知如圖，正方形ABCD中，E為DC上一點，連接BE，作CF⊥BE於P交AD於F點，若恰好使得AP=AB.求證：E為DC中點.

證明：過A作AM⊥BE與M.∴∠AMB=∠AMP=90°，∴∠1+∠3=90° ； ； ；∵BE⊥CF∴∠4=90°∴∠AMB=∠4 ； ； ； ；∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠ABC=90°.即∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3∵在△ABM和△BCP中，∠AMB＝∠4∠3＝∠2 ；AB＝BC，∴△ABM≌△BCP（AAS）∴AM=BP ； ； ；∵AP=AB，AM⊥BE，∴BM=12BP=12AM.∵∠2=∠3，∠AMB=∠BCE，∴△ABM∽△BEC∴BMAM＝CEBC＝12∵BC=DC∴CE=12DC.∴E為DC中點.

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