對於任意的實數a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥M•|a|恒成立,記實數M的最大值是m.(1)求m的值;(2)解不等式|x-1|+|x-2|≤m.

對於任意的實數a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥M•|a|恒成立,記實數M的最大值是m.(1)求m的值;(2)解不等式|x-1|+|x-2|≤m.

(1)不等式|a+b|+|a-b|≥M•|a|恒成立,即M≤|a+b|+|a−b||a|對於任意的實數a(a≠0)和b恒成立,故只要左邊恒小於或等於右邊的最小值.…(2分)因為|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|,當且僅當(a-b)(a+b)≥0時等號成立,即|a|≥|b|時,|a+b|+|a−b||a|≥2 ;成立,也就是|a+b|+|a−b||a|的最小值是2,故M的最大值為2,即m=2.…(5分)(2)不等式|x-1|+|x-2|≤m即|x-1|+|x-2|≤2.由於|x-1|+|x-2|表示數軸上的x對應點到1和2對應點的距離之和,而數軸上12和52對應點到1和2對應點的距離之和正好等於2,故|x-1|+|x-2|≤2的解集為:{x|12≤x≤52}.(10分)