曲面積分∫∫xdydz+y^2dzdy+zdxdy，∑為平面上x+y+z=1被座標平面所截的三角形的上側；求曲面積分

曲面積分∫∫xdydz+y^2dzdy+zdxdy，∑為平面上x+y+z=1被座標平面所截的三角形的上側；求曲面積分

求曲面積分∫∫xdydz + y^2dzdx + zdxdy，其中∑為平面上x + y + z = 1被座標平面所截的三角形的上側.
補面：
∑1:x = 0，後側
∑2:y = 0，左側
∑3:z = 0，下側
∫∫（∑+∑1+∑2+∑3）xdydz + y^2dzdy + zdxdy
=∫∫∫Ω（1 + 2y + 1）dV
= 2∫∫∫Ω（1 + y）dV
= 2∫（0→1）dx∫（0→1 - x）dy∫（0→1 - x - y）（1 + y）dz
= 5/12
∫∫∑1 xdydz + y^2dzdy + zdxdy = 0
∫∫∑2 xdydz + y^2dzdy + zdxdy = 0
∫∫∑3 xdydz + y^2dzdy + zdxdy = 0
於是∫∫∑xdydz + y^2dzdy + zdxdy = 5/12
用原本方法解出：（技巧性的做法，這樣才能看出你對曲面積分有多麼的瞭解）
求曲面積分∫∫xdydz + y^2dzdx + zdxdy，其中∑為平面上x + y + z = 1被座標平面所截的三角形的上側.
∫∫∑xdydz + y^2dzdx + zdxdy =∫∫∑x dydz +∫∫∑y^2 dzdx +∫∫∑z dxdy
在yz面、∫∫∑x dydz、x = 1 - y - z、取前側
=∫∫D（1 - y - z）dydz、y + z = 1與yz座標面圍成的面積
=∫（0→1）dy∫（0→1 - y）（1 - y - z）dz
= 1/6
在zx面、∫∫∑y^2 dzdx、y = 1 - z - x、取右側
=∫∫D（1 - z - x）^2 dzdx
=∫∫D（z^2 + x^2 + 2zx - 2z - 2x + 1）dzdx
=∫（0→1）dx∫（0→1 - x）（z^2 + x^2 + 2zx - 2z - 2x + 1）dz
= 1/12
在xy面、∫∫z dxdy、z = 1 - x - y、取上側
=∫∫D（1 - x - y）dxdy
=∫（0→1）dx∫（0→1 - x）（1 - x - y）dy
= 1/6
於是∫∫∑xdydz + y^2dzdx + zdxdy = 1/6 + 1/12 + 1/6 = 5/12