求函數運算式 已知函數f（x）f'（x）=kf（x）+b k＜0 f（0）=0 f’（0）=3就是（0，0）點切線斜率3 f（x）的漸近線為y=2能求f（x）嗎

求函數運算式 已知函數f（x）f'（x）=kf（x）+b k＜0 f（0）=0 f’（0）=3就是（0，0）點切線斜率3 f（x）的漸近線為y=2能求f（x）嗎

因為f'（x）=kf（x）+b，且f（0）=0，f’（0）=3
所以3=f'（0）=kf（0）+b=b
又因為f（x）的漸近線為y=2，所以當x接近正無窮或者負無窮時，f‘（x）=0，f（x）=2
帶入f'（x）=kf（x）+3
可得k=-3/2
所以f'（x）=-3/2 *f（x）+3
所以可寫作dy/dx=3-3y/2
所以dy/（3-3y/2）=dx
兩邊求積分可得-2ln（3-3y/2）/3=x+C（C是常數）
因為f（0）=0，
所以C=-（2ln3）/3
所以-2ln（3-3y/2）/3=x-（2ln3）/3
所以ln（3-3y/2）=-3x/2 +ln3
所以e^（-3x/2 +ln3）=3-3y/2
所以y=2-2e^（-3x/2 +ln3）/3
驗算f’（x）=-2e^（-3x/2 +ln3）/3 *（-3/2）=e^（-3x/2 +ln3）
-3/2 *f（x）+3=-3/2 *（2-2e^（-3x/2 +ln3）/3）+3=e^（-3x/2 +ln3）
f（0）=2-2e^（ln3）/3=0
因為f’（x）=e^（-3x/2 +ln3）
所以f’（0）=e^（ln3）=3.
所以函數y=2-2e^（-3x/2 +ln3）/3
符合條件f'（x）=kf（x）+b k＜0
f（0）=0
f’（0）=3
f（x）的漸近線為y=2.