求函數運算式 設二次函數f（x）=ax2+bx+c的圖像過點（0,1）和（1,4），且對於任意實數x，不等式f（x）≥4x恒成立. ①求函數f（x）的運算式； ②設g（x）＝kx＋1，若F（x）=log2（g（x）－f（x））在區間〔1,2〕上是增函數，求實數k的取值範圍.

求函數運算式 設二次函數f（x）=ax2+bx+c的圖像過點（0,1）和（1,4），且對於任意實數x，不等式f（x）≥4x恒成立. ①求函數f（x）的運算式； ②設g（x）＝kx＋1，若F（x）=log2（g（x）－f（x））在區間〔1,2〕上是增函數，求實數k的取值範圍.

①首先，既然已確定是二次函數，所以a≠0.
將點（0,1）和（1,4）代入f（x）=ax²；+bx+c得：c=1,4=a+b+c
變形可得：b=3-a，c=1，代入f（x）的運算式得
f（x）=ax²；+（3-a）x+1
由f（x）≥4x得ax²；+（3-a）x+1≥4x，整理得
ax²；-（1+a）x+1≥0
依題意上式對於任意實數x恒成立，也即函數H（x）= ax²；-（1+a）x+1的影像恒在x軸上或x軸方.
所以一定有：
a>0
△=（1+a）²；-4a≤0
後一個式子化簡得（1-a）²；≤0，那麼只能是（1-a）²；=0
兩式聯立解得a=1，再次代回f（x）=ax²；+（3-a）x+1得
f（x）=x²；+2x+1
②F（x）=log2（g（x）－f（x））=log2[（kx+1）-（x²；+2x+1）]= log2[-x²；+（k-2）x]==令== log2[u（x）]
可見F（x）是一個複合函數.因為F（x）在區間[1,2]上是增函數，又log2[u（x）]為u（x）的增函數，所以
u（x）=-x²；+（k-2）x在區間[1,2]上是增函數，而u（x）是一個新的二次函數，其開口向下，對稱軸為x=k-2，所以
k-2≥2………………一
結合真數大於0，有u（1）>0且u（2）>0，即
-4+2（k-2）>-1+（k-2）>0………………二
一二兩個不等式聯立解得實數k的取值範圍為
k>5