證明連續k個正整數之積不是完全平方數

證明連續k個正整數之積不是完全平方數

有點多，你確認要要？
我一點一點的給你打.
k=101的證明吧
假設存在連續101個正整數之積為完全平方數，則這101個正整數中，至多2個97的倍數，2個89的倍數，2個83的倍數，2個79的倍數，2個73的倍數，2個71的倍數，2個67的倍數，2個61的倍數，2個59的倍數，2個53的倍數，3個47的倍數，3個43的倍數，3個41的倍數，3個37的倍數，4個31的倍數，4個29的倍數，5個23的倍數，6個19的倍數，6個17的倍數，8個13的倍數，10個11的倍數，15個7的倍數
101-2*10-3*4-4*2-5-6*2-8-10-15=11
所以至少有11個數的素因數要麼是2,3,5，要麼不小於101
顯然，這些數的不小於101的素因數的次數均為偶數.
又若這些數的2,3,5的次數≥2，則總可以减去一個偶數，使次數變成0或1
於是這11個數可以表示為如下形式：（2^Ri）*（3^Si）*（5^Ti）*（Ui^2），其中Ri，Si，Ti為0或1，Ui為正整數，1≤i≤11
因為不同的數組（Ri，Si，Ti）只有8組，固由抽屜原理知，必有2個數組完全相同.那麼對應的這2個數之積為完全平方數
設這2個數為m，m+n，則m（m+n）為完全平方數，其中m，n為正整數，且1≤n≤100
設（m，n）=d，則m=ds^2，m+n=dt^2，其中d，s，t為正整數，s2ds
所以m=ds^2≤（ds）^2≤49^2=2401
這說明，這連續101個正整數中，必有一個數不超過2401
又根據1011992933894875876837738639531051115112491327142715231621172118111907200320992179227323712467這26個素數可以知道，只要這連續101個正整數中有一個數不超過2401，那麼必有這26個素數其中之一，顯然同這連續101個正整數之積為完全平方數衝突