已知函數f（x）=x3+ax2+bx+4在（-∞，0）上是增函數，在（0，1）上是减函數.（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）當x≥0時，曲線y=f（x）總在直線y=a2x-4上方，求a的取值範圍.

已知函數f（x）=x3+ax2+bx+4在（-∞，0）上是增函數，在（0，1）上是减函數.（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）當x≥0時，曲線y=f（x）總在直線y=a2x-4上方，求a的取值範圍.

（Ⅰ）∵f（x）=x3+ax2+bx+4，∴f′（x）=3x2+2ax+b.∵f（x）在（-∞，0）上是增函數，在（0，1）上是减函數，∴當x=0時，f（x）有極大值，即f′（x）=0，∴b=0.（Ⅱ）f′（x）=3x2+2ax=x（3x+2a），∵f（x）在（-∞，0）上是增函數，在（0，1）上是减函數，∴−23a≥1，即a≤−32.∵曲線y=f（x）在直線y=a2x-4的上方，設g（x）=（x3+ax2+4）-（a2x-4），∴在x∈[0，+∝）時，g（x）≥0恒成立.∵g′（x）=3x2+2ax-a2=（3x-a）（x+a），令g′（x）=0，兩個根為-a，a3，且a3＜0＜−a，x（0，-a）-a（-a，+∞）g′（x）- 0 + g（x）單調遞減極小值單調遞增∴當x=-a時，g（x）有最小值g（-a）.令g（-a）=（-a3+a3+4）-（-a3-4）＞0，∴a3＞-8，由a≤−32，∴-2＜a≤ ；−32.

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