設n為正整數，證明：數2∧2∧n+2∧2∧（n-1）+1，至少有n個不同的質因數 式子是2的（2的n次方）的次方，加上2的（2的n-1的次方）的次方，再加上1

設n為正整數，證明：數2∧2∧n+2∧2∧（n-1）+1，至少有n個不同的質因數 式子是2的（2的n次方）的次方，加上2的（2的n-1的次方）的次方，再加上1

設a（n）= 2^（2^n）+ 2^（2^（n-1））+ 1，b（n）= 2^（2^n）- 2^（2^（n-1））+ 1，
則a（n）= 2^（2^n）+ 2^（2^（n-1））+ 1
= 2^（2^n）+ 2 * 2^（2^（n-1））+ 1 - 2^（2^（n-1））
=（2^（2^（n-1））+ 1）^2 -（2^（2^（n-2）））^2
=（2^（2^（n-1））+ 1 + 2^（2^（n-2）））*（2^（2^（n-1））+ 1 - 2^（2^（n-2）））
= a（n - 1）* b（n - 1）.
故a（n）= a（n - 1）* b（n - 1）= a（n - 2）* b（n - 2）* b（n - 1）
=…= a（1）* b（1）* b（2）*…* b（n -1）.
顯然a（n）> 1，b（1），…，b（n - 1）> 1，所以a（1），b（1），…，b（n - 1）都有素因數.
因為a（n）- b（n）= 2 * 2^（2^（n-1）），
即a（1）* b（1）* b（2）*…* b（n -1）- b（n）= 2 * 2^（2^（n-1））.
而a（1），b（1），…，b（n - 1），b（n）都是奇數，
故乘積a（1）b（1）…b（n - 1）與b（n）互素.
囙此a（1），b（1），…，b（n - 1）中的每一個都與b（n）互素.
這說明對於{b（n）}中的任意兩項b（k）與b（j），b（k）與b（j）都沒有公共的素因數.
而且，{b（n）}中的每項b（k）與a（1）也都沒有公共的素因數.
故a（1），b（1），…，b（n - 1）中任意兩個所包含的素因數都是不同的.
所以，他們的乘積a（n）= a（1）* b（1）* b（2）*…* b（n -1）至少包含n個不同的素因數.

在現有西曆制度之下（年份是4的倍數但不是100的倍數，或者年份是400的倍數，則這一年為閏年，2月有29天；年份不是4的倍數，或者年份是100的倍數但不是400的倍數，則這一年為平年，2月有28天），未來100年（2015年-2114年）的元旦出現在星期幾的次數最少，它共出現多少次？

這是一個很有趣的問題，值得去費一下腦筋.正常情况下，如果今年是平年，因為365÷7的餘數是1，則下一年的星期比今年的多一天（今年星期一，明年則星期二等）；閏年因為有366天，則下一年需要多兩天（今年閏年星期一，下一年星期三等）.值得注意的是2100年是平年，從2097年到2104年連續有七次加一天.這樣就可以從2015年的元旦是星期四開始計算出每一年的元旦是星期幾.更好的方法還有待於研究.答案是：星期一14天，星期二14天，星期三13天，星期四15天，星期五15天，星期六14天，星期日15天.顯然選星期三13次最少.

（一）小明計畫用若干天讀完一本書.如果每天少讀5頁讀完這本書時間推遲7/8.如果每天讀的頁數比計畫多讀1/3.那麼就提前一天讀完.問這本書多少頁？
（二）耕一塊地.原計畫用若干臺耕耘機在規定時間完成.如果加3臺耕耘機.只需要規定時間的7/8完成.如果减少2臺耕耘機.就要比規定時間推遲2/3小時完成.問原定用多少小時完成？
要求詳解說明

這2道題好像有些問題，因為算出來不是整數，第1題，設計畫a天，每天b頁讀完這本書則數的總頁數為a*b根據題意可得方程a*b/（b-5）=a（1+7/8）a*b/（b+b/3）=a-1解方程得a=4，b=75/7第2題，設計劃x臺耕耘機，y小時完成，則總任…

1、求證：若一個圖形只有兩條對稱軸，則它們互相垂直.
2、設m，n為正整數，m，n均為奇數，且（2^（n-1），m）=1.求證：m|（1^n+2^n+…+m^n）

證明：1、設這兩條對稱軸為l1和l2，設l1關於l2的對稱直線為l3則l3也為圖形的對稱軸這是因為，關於l1對稱的兩點，對於l2的對稱點，一定是關於l3對稱的.由此，與題目已知有且只有2條對稱軸矛盾，l3與l2重合，此時，l1與l2垂直….

如圖，在長方形ABCD中，AE:ED=AF:AB=BG:GC.已知△EFC的面積為20，△FGD的面積為16，那麼長方形ABCD的面積是多少？

設矩形ABCD的對邊AB=CD=a，AD=BC=b，再設題中的比例常數AE:ED=AF:AB=BG:GC=k，把這個運算式變換成k和矩形ABCD邊長a、b的運算式，則有：AE=BG=kb：（k+1）ED=GC=bk+1AF=ka，FB=（1-k）aS（矩形ABCD）=ab=S（Rt△AFE）+S（△FEC）+S（Rt△EDC）+S（Rt△FBC）=12×AF×AE+20+12×ED×CD+12×FB×BC=12×ka×kb：（k+1）+20+12×b：（k+1）×a+12×（1-k）a×b=1k+1×ab+20解ab，得：ab=20×（k+1）k ； ；（1）同理S（矩形ABCD）=ab=S（Rt△FBG）+S（△FGD）+S（Rt△GDC）+S（Rt△AFD）=12×FB×BG+16+12×GC×CD+12×AF×AD=12×（1-k）a×k+1kb+16+12+bbk+1×a+12×ka×b=2k+12k+2×ab+16解ab，得：ab=32（k+1）（2）根據（1）（2），解得k=58，代入（1）或（2），得到S（矩形ABCD）=ab=52cm

如圖所示，已知E、F、G、H分別是正方形ABCD各邊的中點，正方形ABCD的面積是80平方釐米，求陰影部分的面積.

80×15=16（平方釐米）.答：陰影部分的面積是16平方釐米.

在圓內畫一個內接等邊三角形，在等邊三角中又畫一個內接的圓，在第二個圓內再畫第二個內接等邊三角形，這樣繼續畫下去（如圖所示）.如果第一個三角形的面積是512平方釐米，那麼第五個三角形的面積是多少平方釐米？

根據題幹分析可得：三角形的面積是按照4:1的比例依次縮小的，所以512÷4÷4÷4÷4=2（平方釐米），答：第五個三角形的面積是2平方釐米.

棱長為4釐米表面都是紅色的立方體，在它的每個面上等距離地切上三刀，得到64個小正方體，且切面都是白色.在這64個小立方體中一面、兩面、三面是紅色的各有幾個？
每個面都不是紅色的有幾個？

3面的只有8個角，自然是8
兩面的是邊，一邊2個，有12條邊就有24個
一面的是中間，一個面4個，就有24個
都白的有8個

立體圖形練習
一個圓柱形水塔的側面積是157平方米，高是5釐米，底面直徑是多少米？它占地多少平方米？請會做的將式子列出，

水塔高是5米吧！
底面周長c=157/5米=31.4米
底面直徑d=31.4/3.14米=10米
占點面積S=3.14x5x5平方米=78.5平方米

同學在甲、乙兩個購物中心發現他看中的運動服的單價相同，球鞋的單價相同，運動鞋和球鞋的單價之和是452元，且運動鞋單價比球鞋單價的4倍少8元.
[1]求該同學看中的運動鞋和球鞋的單價各是多少
[2]某一天，該同學上街，恰好趕上商店促銷，甲所有商品8折銷售，乙全場每購物100元返30元購券，他只帶了400元，如果他只在一家購物中心購買這兩樣物品，你能說明他可以在哪一家商場購買嗎？如果兩家可以，哪一家更省錢

1.球鞋單價x元，運動服4x-8
4x-8+x=452
5x=460
x=92
球鞋92元
運動服360元
甲：452×0.8=361.6