如圖，有一四邊形紙片ABCD，AB‖CD，AD‖BC，∠A=60°，將紙片分別沿折痕MN、PQ折疊，使點A與AB邊上的點E重合，點C與CD邊上的點F重合，EG平分∠MEB交CD於G，FH平分∠PFD交AB於H.試說明：（1）EG‖FH；（2）ME‖PF.

如圖，有一四邊形紙片ABCD，AB‖CD，AD‖BC，∠A=60°，將紙片分別沿折痕MN、PQ折疊，使點A與AB邊上的點E重合，點C與CD邊上的點F重合，EG平分∠MEB交CD於G，FH平分∠PFD交AB於H.試說明：（1）EG‖FH；（2）ME‖PF.

（1）∵點A沿MN折疊與點E重合，點C沿PQ折疊與點F重合，∴∠MEA=∠A，∠PFC=∠C，（1分）∵AB‖CD（已知），∠A=60°，∴∠D+∠A=180°（兩直線平行，同旁內角互補），∴∠D=120°，∵AD‖BC（已知），∴∠C+∠D=180°（兩直線平行，同旁內角互補），∴∠C=60°，∴∠MEA=∠PFC=60°，∴∠MEB=∠PFD=120°，∴EG、FH為角平分線，∴∠MEG=∠GEH=∠PFH=∠HFD=60°，（3分）∵DC‖AB，∴∠DGE=∠GEH，∴∠DGE=∠GFH，∴GE‖FH；（4分）（2）連接EF，∵GE‖FH，∴∠GEF=∠HFE，又∵∠MEG=∠PFH=60°，∴∠GEF+∠MEG=∠HFE+∠PFH，∴∠MEF=∠PFE，∴ME‖PF.（7分）

在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=5.如圖所示，折疊紙片，使點A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ，當點A′在BC邊上移動時，折痕的端點P.Q也隨之移動，若限定點P、Q分別在線段AB、AD邊上移動，則點A′在BC邊上可移動的最大距離為（）
A. 1B. 2C. 3D. 4

如圖1，當點D與點Q重合時，根據翻折對稱性可得A′D=AD=5，在Rt△A′CD中，A′D2=A′C2+CD2，即52=（5-A′B）2+32，解得A′B=1，如圖2，當點P與點B重合時，根據翻折對稱性可得A′B=AB=3，∵3-1=2，∴點A′在BC邊上可移動的最大距離為2.故選B.

長方形紙片ABCD，AD=9，AB=12，將紙片折疊，使A，C兩點重合，折線是多少？

AC=15，設AC的中點為E，折線與AB交於F，（折線垂直平分對角線AC）
AE=7.5
三角形AEF相似於ABC，
EF/AE=BC/AB=9/12，
EF=22.5/4
折線長=2EF=11.25

有一張矩形紙片ABCD，已知AB=2，AD=5，把這張紙片折疊，使點A落在邊BC上的點E處，折痕為MN，MN交AB於M，交AD於N.（1）已知BC上的點E，試畫出折痕MN的位置，並保留作圖痕迹.（2）若BE=2，試求出AM的長.（3）當點E在BC上運動時，設BE=x，AN=y，試求y關於x的函數解析式，並寫出x的取值範圍.（4）連接DE，是否存在這樣的點E，使△AME與△DNE相似？若存在，請求出這時BE的長，若不存在，請說明理由.

（1）連接AE，並作AE的中垂線，交AB與M、交AD與N.如圖：（3分）（2）連接ME，如圖1，∵BE=2，設BM=x，則ME=2-x，由畢氏定理可得：BM2+BE2=ME2，∴2+x2=（2-x）2，∴2+x2=4-4x+x2，∴x=12，∴AM=32；（3）延長NM交CB…

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA垂直底面ABCD，且PA=AD，E為棱PC上的一點，PD垂直平面ABE
求證E為PC的中點

建立空間坐標系求解.以A點為頂點，AD為X軸，AB為Y軸，AP為Z軸.設正方形邊長為1，則其中的點有A（0,0,0），B（0,1,0），D（1,0,0），C（1,1,0），P（0,0,1）.設E（x，y，z）.
向量有PD=（1,0，-1），AE=（x，y，z），BE=（x，y-1，z），PE=（x，y，z-1），PC=（1,1，-1）.
因為PD垂直平面ABE，所以有：向量PD×AE=0，PD×BE=0；則有：x-z=0，①
因為E在PC上，所以有，PE=mPC，即x=m，y=m，z-1=-m.解的：x=y=1-z，②
由①②可以解得：x=y=z=0.5.
囙此E（0.5,0.5,0.5），所以E點為PC中點.

如圖，在正方形ABCD的邊BC上任取一點M，過點C作CN⊥DM交AB於N，設正方形對角線交點為O，試確定OM與ON之間的關係，並說明理由.

∵四邊形ABCD是正方形，∴DC=BC，∠DCM=∠NBC=90°，又∵CN⊥DM，∴∠NCM+∠CMD=90°，而∠CMD+∠CDM=90°，∴∠NCM=∠CDM，在△DCM和△CBN中，∵∠NCM＝∠CDMCD＝CB∠DCM＝∠CBN，∴△DCM≌△CBN（ASA），∴CM=BN，…

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB等於2AD，M是AB的中點，連接DM，MC，試問直線DM與MC有何位置關係，請說明理由.

證明：AB=2AD，AB=2AM
∴AD=AM，∠AMD=∠ADM
AB‖CD，∴∠AMD=∠CDM
囙此DM是∠ADC的平分線
同理，CM是∠BCD的平分線
∵∠ADC+∠BCD=180，∴∠MDC+∠MCD=90
∴DM⊥CM

梯形ABCD中，ad//bc，M是腰AB的中點，且AD+BC=DC，試說明：DM垂直MC.

延長DM交BC於N
△AMD全等於△BNM
MD＝MN
NC＝NB＋BC＝AD＋BC＝DC
△NCD為等腰△
CM為底邊中垂線，原命題得證

如圖，在梯形ABCD中，已知AB‖CD，M是AB的重點，且DM=CM，試說明梯形ABCD是等腰梯形的理由

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴∠MDC=∠DMA∠MCD=∠CMB
又∵CN=DM
∴△MDC是等腰三角形
∴∠MDC=∠MCD
∴∠DMA =∠CMB
又∵M是AB的中點
∴AM=BM
根據【邊角邊】或【SAS】
可知△AMD全等△BMC
∴AD=BC
∴梯形ABCD是等腰梯形
够詳細把

如圖：正方形ABCD中，過點D作DP交AC於點M、交AB於點N，交CB的延長線於點P，若MN=1，PN=3，則DM的長為______.

設DM=x，PB=y，正方形ABCD的邊長是Z，則DN=x+1∵AD‖PC∴△ADM∽△CPM，△PNB∽△DNA∴PNDN=PBAD∴3x+1=yz，4x=y+zz=yz+1，3x+1=4x-1，3x=4（x+1）-x2-x，x=2或-2（舍去），∴x=2.